Kezdőlap


Feladat:	234. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Dévai E. , Eckstein V. , Fekete M. , Friedländer H. , Fuchs A. , Füstös P. , Harsányi Z. , Heimlich P. , Jánosy Gy. , Kiss J. , Koffler B. , Miklóssy K. , Neumann L. , Paunz A. , Pichler S. , Rajz E. , Reich Z. , Schlesinger Gy. , Schuster Gy. , Steiger J. , Szécsi I. , Tandlich E. , Tóth B. , Viola R. , Wáhl V.
Füzet:	1902/szeptember, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/szeptember: 234. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $x - 1, x, x + 1, x + 2$ a keresett négy szám. Jelöljük e négy szám első hatványának összegét $S_{1}$ -gyel, a második hatványok összegét $S_{2}$ -vel, a harmadikét pedig $S_{3}$ -mal.

\begin{matrix} x - 1 = (x + \frac{1}{2}) - \frac{3}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} x + 2 = (x + \frac{1}{2}) + \frac{3}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} x = (x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} x + 1 = (x + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} S_{1} = 4 (x + \frac{1}{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} S_{2} = 4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} = 4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 \end{matrix}

és

\begin{matrix} S_{3} = 4 {(x + \frac{1}{2})}^{3} + 3 [{(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}] (x + \frac{1}{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = (x + \frac{1}{2}) [4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 15] . \end{matrix}

De a feladat értelmében

\begin{matrix} S_{1} S_{2} = 3 S_{3} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 4 (x + \frac{1}{2}) [4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5] = 3 (x + \frac{1}{2}) [4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 15], \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} = 25, \end{matrix}

honnan

\begin{matrix} x + \frac{1}{2} = \pm \frac{5}{2}, x_{1} = 2 és x_{2} = - 3, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 1, 2, 3, 4 és - 4, - 3, - 2, - 1 \end{matrix}

a keresett számok.

A feladatot megoldották: Dévai E., Eckstein V., Fekete M., Friedländer H., Fuchs A., Füstös P., Harsányi Z., Heimlich P., Jánosy Gy., Kiss J., Koffler B., Miklóssy K., Neumann L., Paunz A., Pichler S., Rajz E., Reich Z., Schlesinger Gy., Schuster Gy., Steiger J., Szécsi I., Tandlich E., Tóth B., Viola R., Wáhl V.