Kezdőlap


Feladat:	170. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ehrenstein P. , Felhőssy J. , Frank T. , Freund Ernő , Füstös P. , Gerő M. , Harsányi Z. , Heimlich P. , Jánosy Gy. , Kirchknopf E. , Kiss J. , Makó E. , Paunz A. , Petrik S. , Sárközy E. , Schlesinger Gy. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Steiger J. , Stolzer J. , Szabó J. , Szécsi I. , Tóth B.
Füzet:	1902/január, 131. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/január: 170. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott kifejezésből köbgyököt vonva, ered:

\begin{matrix} x^{2} - 2 x + 1 \end{matrix}

A keresett kifejezés azonban a következő módon is meghatározható: Minthogy az első tag együtthatója

1

és a tiszta tag is

1

, azért a keresett trinom

\begin{matrix} x^{2} + a x + 1 \end{matrix}

alakú. Ha e trinomot köbre emeljük és a nyert kifejezést

x

-nek fogyó hatványai szerint rendezzük, akkor ered:

\begin{matrix} x^{6} + 3 a x^{5} + (3 a^{2} + 3) x^{4} + (a^{3} + 6 a) x^{3} + (3 + 3 a^{2}) x^{2} + 3 a x + 1. \end{matrix}

A megadott kifejezés az utóbbival identikusan egyenlő s így a megfelelő együtthatók is egyenlők. Ennélfogva kell hogy legyen:

\begin{matrix} 3 a = - 6, 3 a^{2} + 3 = 15, a^{3} + 6 a = - 20, 3 + 3 a^{2} = 15, 3 a = - 6. \end{matrix}

Eme egyenletek mindegyikéből következik, hogy

a = - 2

, s így a keresett trinom:

\begin{matrix} x^{2} - 2 x + 1. \end{matrix}

(Freund Ernő, Budapest.)

A feladatot megoldották: Ehrenstein P., Felhőssy J., Frank T., Füstös P., Gerő M., Harsányi Z., Heimlich P., Jánosy Gy., Kirchknopf E., Kiss J., Makó E., Paunz A., Petrik S., Sárközy E., Schlesinger Gy., Schuster Gy., Schwarz Gy., Steiger J., Stolzer J., Szabó J., Szécsi I., Tóth B.