Kezdőlap


Feladat:	159. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ehrenstein P. , Freund E. , Füstös P. , Harsányi Z. , Jánossy F. , Jánosy Gy. , Makó E. , Sárközy E. , Schlesinger Gy. , Schwarz Gy. , Steiger J. , Stolzer J. , Szabó J. , Tóth B.
Füzet:	1901/december, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/december: 159. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott kifejezés így írható:

\begin{matrix} (a^{2} - 1) a^{2} (a^{2} + 1) = (a + 1) a (a - 1) \cdot a \cdot [(a + 2) (a - 2) + 5] = \end{matrix}

\begin{matrix} = (a - 2) (a - 1) a (a + 1) (a + 2) \cdot a + 5 (a - 1) a (a + 1) a . \end{matrix}

Az összeg első tagjában

5

egymásután következő szám szorzatát látjuk; tehát eme összeg osztható

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

-szal s így

60

-nal is. Az összeg második tagja is osztható

60

-nal, mert

a - 1, a, a + 1

három egymásután következő szám, tehát az egyik osztható

3

-mal.

4

-gyel is osztható, mert ha

a

páros, akkor

a^{2}

osztható néggyel, ha pedig

a

páratlan, akkor

(a - 1) (a + 1)

osztható. Minthogy tehát eme második tag osztható

3

-mal,

4

-gyel,

5

-tel, azért osztható

60

-nal is. Így tehát az összeg osztható

60

-nal.

A feladatot megoldották: Ehrenstein P., Freund E., Füstös P., Harsányi Z., Jánossy F., Jánosy Gy., Makó E., Sárközy E., Schlesinger Gy., Schwarz Gy., Steiger J., Stolzer J., Szabó J., Tóth B.