Kezdőlap


Feladat:	149. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Deutsch I. , Haar A. , Kertész Gusztáv , Kürti I. , Raab R. , Ragány B.
Füzet:	1901/október, 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Érintőnégyszögek, Középponti és kerületi szögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/április: 149. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a húrnégyszög $A B C D$ , az oldalait érintő kör középpontja $O$ , az érintési pontok $A_{1} (A B)$ -n, $B_{1} (B C)$ -n, $C_{1} (C D)$ -n és $D_{1} (D A)$ -n, $A_{1} C_{1}$ és $B_{1} D_{1}$ metszése $M$ , akkor:
$α) A_{1} O B_{1} ∢ + C_{1} O D_{1} ∢ = (180^{\circ} - A B C ∢) + (180^{\circ} - A D C ∢) = 180^{\circ} .$
Miután pedig

\begin{matrix} A_{1} M B_{1} ∢ = C_{1} M D_{1} ∢ és A_{1} M B_{1} ∢ + C_{1} M D_{1} ∢ = A_{1} O B_{1} ∢ + C_{1} O D_{1} ∢ = 180^{\circ}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} A_{1} M B_{1} ∢ = C_{1} M D_{1} ∢ = 90^{\circ} . \end{matrix}

β) Ha pedig viszont A_{1} M B_{1} ∢ = C_{1} M D_{1} ∢ = 90^{\circ} és így A_{1} O B_{1} ∢ + C_{1} O D_{1} ∢ = 2 A_{1} M B_{1} ∢ = 180^{\circ}, akkor

\begin{matrix} A B C ∢ + A D C ∢ = (180^{\circ} - A_{1} O B_{1} ∢) + (180^{\circ} - C_{1} O D_{1} ∢) = 180^{\circ}, \end{matrix}

minélfogva

A B C D

húrnégyszög.

(Kertész Gusztáv, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Deutsch I., Haar A., Kürti I., Raab R., Ragány B.