Kezdőlap


Feladat:	75. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1901/január, 144 - 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Aranymetszés, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/október: 75. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt kiszámítjuk a szabályos $3, 4, 5, 6$ és $10$ -szög egy-egy oldalát. Ismeretes, hogy $a_{6} = r .$ - $O I K$ háromszögből :

\begin{matrix} a_{3} = 2 \sqrt[]{r^{2} - \frac{r^{2}}{4}} = r \sqrt[]{3} . \end{matrix}

O H F ▵

-ből:

\begin{matrix} a_{4} = r \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Legyen a szabályos tízszög egyik oldala

a_{10} = B C

. A hozzá tartozó középponti szög

36^{\circ}

Könnyen felismerhető, hogy

O B C ∢ = B C O ∢ = 72^{\circ}

. Ha megfelezzük a

C

szöget, akkor

O C E ∢ = E G B ∢ = 36^{\circ}, B E C ∢ = 72^{\circ}

. Ennélfogva

O B C ▵ \sim C B E ▵

s így

\begin{matrix} O B : B C = B C : E B, \end{matrix}

\begin{matrix} O B = r, B C = E C = O E = a_{10}, \end{matrix}

\begin{matrix} E B = r - a_{10}, \end{matrix}

eme értékeket helyettesítve:

\begin{matrix} r : a_{10} = a_{10} : r - a_{10} . \end{matrix}

(3)

Látjuk, hogy az

E

pont az aranymetszés szerint osztja az

O B

távolságot.

(O B : O E = O E : E B)

.
(3)-ból ered:

\begin{matrix} a_{10} = \frac{r}{2} (\sqrt[]{5} - 1) . \end{matrix}

Az ötszög egyik oldalát az

A B D

háromszögből számítjuk ki; ugyanis:

\begin{matrix} {(\frac{a_{5}}{2})}^{2} = a_{10}^{2} - {(\frac{r - a_{10}}{2})}^{2} = \frac{r^{2}}{4} {(\sqrt[]{5} - 1)}^{2} - \frac{r^{2}}{16} {(3 - \sqrt[]{5})}^{2} = \frac{r^{2}}{16} (10 - 2 \sqrt[]{5}) \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a_{5} = \frac{r}{2} \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}} . \end{matrix}

A most talált értékeket helyettesítsük a megadott egyenletekbe, akkor ered:

(1)

\begin{matrix} r^{2} + 2 r^{2} = 3 r^{2} = a_{3}^{2} . \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} r^{2} + \frac{r^{2}}{4} (6 - 2 \sqrt[]{5}) = \frac{r^{2}}{4} (10 - 2 \sqrt[]{5}) = a_{5}^{2} . \end{matrix}

Megoldások száma: 11.