Feladat: 65. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Deutsch I. ,  Haar A. ,  Ligeti P. ,  Riesz M. 
Füzet: 1900/december, 115. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/szeptember: 65. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a magasság m, a szögfelező AD, továbbá BD=q,DC=pBC=a,CA=b,AB=c. Ekkor tehát a=p+q. A háromszög kettős területe pedig
am=bc,
miből
m=bca.
Minthogy AD szögfelező, azért
bp=cq,
vagy
b2p2=c2q2(1)
s még
b2c2=p2q2
az egyenlet mindkét oldalához 1-et adva:
b2+c2c2=p2+q2q2
vagy
b2+c2p2+q2=c2q2(2)
(1)-et tekintetbe véve:
b2p2=c2q2=a2p2+q2=(p+q)2p2+q2,
miből
b=p(p+q)p2+q2,c=q(p+q)p2+q2.
s így
m=pq(p+q)2(p2+q2)(p+q)=pq(p+q)p2+q2.
 
A feladatot megoldották: Deutsch I., Haar A., Ligeti P., Riesz M.