Kezdőlap


Feladat:	63. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Haar Alfréd
Füzet:	1900/december, 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Körülírt kör, Beírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/szeptember: 63. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C$ háromszögbe ( $A ∢ = 90^{\circ}$ ) írható kör középpontja $O$ ; az $0$ -ból az $A C, C B$ és $B A$ oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai: $B_{1}, A_{1}$ és $C_{1}$ . Ekkor a beírható kör átmérője $d = O B_{1} + O C_{1}$ ; a köré írható kör átmérője $D = C A_{1} + A_{1} B$ . Minthogy a körhöz egy pontból rajzolható érintők egyenlő hosszúak, azért:

\begin{matrix} C A_{1} = C B_{1}, A_{1} B = B C_{1}, B_{1} O = A C_{1}, C_{1} O = A B_{1} . \end{matrix}

Eme 4 egyenlőség bal oldalait és jobb oldalait összeadva, kapjuk:

\begin{matrix} (C A_{1} + A_{1} B) + (B_{1} O + C_{1} O) = (C B_{1} + A B_{1}) + (B C_{1} + A C_{1}) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} D + d = A C + A B . \end{matrix}

(Haar Alfréd, Budapest.)