Kezdőlap


Feladat:	43. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szmodics Hildegárd
Füzet:	1900/szeptember, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Súlyvonal, Súlypont, Hossz, kerület, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/április: 43. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az oldalfelezők talppontjai $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ és metszéspontjuk $O$ , akkor:

\begin{matrix} A O + B O > A B és A_{1} O + B_{1} O > A_{1} B_{1}, \end{matrix}

\begin{matrix} B O + C O > B C B_{1} O + C_{1} O > B_{1} C_{1}, \end{matrix}

\begin{matrix} C O + A O > C A C_{1} O + A_{1} O > C_{1} A_{1}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A O + B O + C O > \frac{A B + B C + C A}{2} \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} A_{1} O + B_{1} O + C_{1} O > \frac{A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + C_{1} A_{1}}{2} \end{matrix}

(2)

ha pedig tekintetbe veszszük, hogy

\begin{matrix} A_{1} B_{1} = \frac{A B}{2}, B_{1} C_{1} = \frac{B C}{2} és C A = \frac{C_{1} A_{1}}{2}, \end{matrix}

akkor (1) és (2) összegét véve :

\begin{matrix} A A_{1} + B B_{1} + C C_{1} > \frac{3}{4} (A B + B C + C A) . \end{matrix}

(Szmodics Hildegárd, Veszprém.)