Kezdőlap


Feladat:	40. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Deutsch Imre , Spitzer Vilmos
Füzet:	1900/szeptember, 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Maradékosztályok, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/április: 40. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás.

\begin{matrix} n (2 n + 1) (7 n + 1) = n [(n - 1) + (n + 2)] \cdot [6 n + (n + 1)] = \end{matrix}

\begin{matrix} = 6 n^{2} (2 n + 1) + n ((n + 1) (n + 2) + (n - 1) n (n + 1) . \end{matrix}

Három egymásra következő egész szám szorzata

2

-vel és

3

-mal, tehát szorzatukkal

6

-tal is osztható. Az összeadandók mindegyike, tehát összegük is osztható

6

-tal.

(Deutsch Imre, Győr.)

II. megoldás. A kifejezés akkor is osztható

2

-vel, ha

n

páratlan, mert akkor

7 n + 1

páros. Épp így

3

-mal akkor is osztható, ha

n

nem többszöröse a

3

-nak. Ekkor ugyanis

\begin{matrix} a) n = 3 a + 1 vagy b) n = 3 a - 1 \end{matrix}

alakú szám és:

\begin{matrix} (a) n (2 n + 1) (7 n + 1) = (3 a - 1) (6 a + 3) (21 a + 8) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 3 (3 a + 1) (2 a + 1) (21 a + 8) \end{matrix}

\begin{matrix} b) n (2 n + 1) (7 n + 1) = (3 a - 1) (6 a - 1) (21 a - 6) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 3 (3 a - 1) (6 a - 1) (7 a - 2) . \end{matrix}

(Spitzer Vilmos, Pécs.)