Kezdőlap


Feladat:	2253. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal P. , Bereczky E. , Engel S. , Fried V. , Földy Z. , Goldstein Ö. , Grünwald J. , Hadarics K. , Holitscher Ferenc , Klein P. , Kont Piroska , Kornfeld F. br. , Korvin P. , Kun-kollégium Arany János önképző köre, Szászváros , Lénárd S. , Lovas A. , Lukács A. , Márkus J. , Nagy L. J. , Okolicsányi F. , Oszwald F. , Paunz János , Peisner Gy. , Popper A. , Radó T. , Rajk M. , Sárkány F. , Schwarz Emmy , Somogyi Ö. , Táborossy K.
Füzet:	1913/április, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Számsorozatok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1913/január: 2253. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás.

\begin{matrix} 3^{4 n + 1} = 3 \cdot 81^{n} = 3 \cdot {(80 + 1)}^{a} = 3 (80^{2} \cdot A + n \cdot 80 + 1) = \\ = 64 \cdot 300 A + 240 n + 3 = 64 A' + 240 n + 3 \\ 10 \cdot 3^{2 n} = 10 {(8 + 1)}^{n} = 10 (8^{2} \cdot B + n \cdot 8 + 1) = 64 B' + 80 n + 10, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 3^{4 n + 1} + 10 \cdot 3^{2 n} - 13 = 64 (A' + B') + 320 n = 64 (A' + B' + 5 n) . \end{matrix}

(Paunz János, Pécs)

Második megoldás. Az adott szám így is írható

\begin{matrix} 3 \cdot 9^{2 n} - 3 \cdot 9^{n} + 13 \cdot 9^{4} - 13 = (9^{n} - 1) (3 \cdot 9^{n} + 13) . \end{matrix}

Mindkét tényező osztható 8-cal, tehát szorzatuk 64-gyel. Ugyanis

\begin{matrix} 9^{n} - 1 = 9^{n} - l^{n} osztható 9 = 1 = 8 - cal \end{matrix}

és

\begin{matrix} 3 \cdot 9^{n} + 13 = 3 (8 + l) + 13 = 8 A + 3 + 13 = 8 (A + 2) . \end{matrix}

(Holitscher Ferenc, Budapest.)

Harmadik megoldás. Jelöljük az adott számot

S_{n}

-nel akkor

S_{1} = 320 = 5 \cdot 64

. Tegyük fel, hogy

S_{n}

osztható 64-gye1 és nézzük meg, hogy

S_{n + 1}

is osztható 64-gyel? Evégből csak azt kell vizsgálnunk, hogy

S_{n + 1} - S_{n}

osztható 64-gyel?

\begin{matrix} S_{n + 1} - S_{n} & = 3^{4 (n + 1) + 1} + 10 \cdot 3^{3 (n + 1)} - 13 - (3^{4 n + 1} - 10 \cdot 3^{2 n} - 13) = \\ = 3^{4 n + 1} (3^{4} - 1) + 10 \cdot 3^{2 n} (9 - 1) = 80 \cdot 3^{2 n} (3^{2 n + 1} + 1) . \end{matrix}

Ámde 80 osztható 16-tal,

3^{2 n + 1} + 1^{2 n + 1}

osztható

3 + 1 = 4

-gyel, tehát a különbség osztható 64-gyel. Ha tehát

S_{n}

osztható 64-gyel, akkor

S_{n + 1}

is osztható vele, ámde

S_{1}

osztható 64-gyel, tehát osztható

S_{2}

is, ebből ismét

S_{3}

és í. t.

(Kont Piroska.)