Kezdőlap


Feladat:	2252. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fried V. , Földy Z. , Goldstein Ö. , Horvát Miklós , Klein P. , Kont Piroska , Lénárd S. , Lovas A. , Okolicsányi F. , Oszwald F. , Popper A. , Radó T. , Rajk M. , Táborossy K.
Füzet:	1913/március, 199 - 200. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elemi függvények differenciálhányadosai, Szélsőérték differenciálszámítással, Fizikai jellegű feladatok, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Gyűjtőlencse, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1913/január: 2252. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Ha a tárgytávolságot $t$ -vel, a képtávolságot $k$ -val jelöljük, akkor mint ismeretes

\begin{matrix} \frac{1}{t} + \frac{1}{k} = \frac{1}{f}, ahonnan t + k = \frac{t k}{f} . \end{matrix}

Feladatunk abból áll, hogy meghatározzuk a

t + k = y

összeg minimális értékét:

\begin{matrix} y = \frac{1}{f} : (\frac{1}{t} \cdot \frac{1}{k}) . \end{matrix}

Ámde

\begin{matrix} \frac{1}{t} + \frac{1}{k} = \frac{1}{f} = állandó, \end{matrix}

tehát

\frac{1}{t} \cdot \frac{1}{k},

akkor a lehető legnagyobb is így

y

akkor a lehető legkisebb, ha az összeadandók egyenlők, vagyis

\begin{matrix} \frac{1}{t} = \frac{1}{k}, ahonnan t = k = 2 f . \end{matrix}

A tárgynak a képétől való távolsága tehát akkor a lehető legkisebb, ha a lencsétől egyenlő távolságra vannak.

Második megoldás.

\frac{1}{t} + \frac{1}{k} = \frac{1}{f}, y = t + k .

Az első egyenletből

k

-t kiszámítva és a második egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} y = \frac{t^{2}}{t - f} . \end{matrix}

Kiszámíthatjuk

y

-nak

t

szerint vett első és második differenciálhányadosát

\begin{matrix} y' = \frac{t^{2} - 2 t f}{{(t - f)}^{2}}, y'' = \frac{2 f^{2}}{{(t - f)}^{3}}, \end{matrix}

y' = 0,

t^{2} - 2 t f = 0

és így

t = 2 f .

Ebben az esetben

\begin{matrix} y'' = \frac{2 f^{2}}{f^{3}} = \frac{2}{f} > 0, tehát y_{m i n} = \frac{4 f^{2}}{f} = 4 f . \end{matrix}

t = 2 f,

akkor az első egyenletből

k = 2 f

és így

\begin{matrix} t = k . \end{matrix}

(Horvát Miklós, Budapest.)