Kezdőlap


Feladat:	2246. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal P. , Buzágh A. , Döme R. , Enyedi E. , Földi Z. , Gertler Gy. , Glücksthal A. , Goldstein Ö. , Gros Gy. , Hadarics K. , Horvát M. , Kertész Gy. , Klein P. , Kornfeld F. br. , Korvin P. , Kun J. , Lefkovics Franciska , Lénárd S. , Leuchtag A. , Lovas A. , Márkus J. , Nagy L. J. , Oszwald F. , Pirity István , Popper A. , Radó T. , Rajk M. , Stojkovits I. , Szende M. , Táborossy K. , Trugly Ö. , Vermes P.
Füzet:	1913/november, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Trapézok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1912/december: 2246. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Ha a trapéz csúcsai $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ( $\bar{A B} = a$ , $\bar{B C} = b$ , ...), akkor rajzoljunk az $A$ és a $B$ csúcsokból merőlegeseket a $C D$ -re: $A E ⊥ C D$ , $B F ⊥ C D$ és legyen $\bar{A E} = \bar{B F} = m$ . Jelöljük a $\bar{D E}$ darab hosszát $x$ -szel, akkor mivel $\bar{E F} = \bar{A B} = a$ , azért $\bar{C F} = c - a - x$ . Már most az $A D E$ , illetőleg a $B C F$ derékszögű háromszögekből

\begin{matrix} d^{2} = m^{2} + x^{2} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} b^{2} = m^{2} + {(c - a - x)}^{2} . \end{matrix}

(2)

Ha tehát az (1) egyenletből levonjuk a (2)-t, akkor

\begin{matrix} d^{2} - b^{2} + {(c - a)}^{2} = 2 (c - a) x \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (\frac{d^{2} - b^{2}}{c - a} + c - a) = 11, 25 cm \end{matrix}

és

\begin{matrix} \bar{C F} = c - a - x = - 1, 57. \end{matrix}

2^{\circ}

. Az

A D E

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} cos δ = \frac{x}{d}, tehát δ = a r c cos \frac{x}{d}, \end{matrix}

hasonlóképp

\begin{matrix} cos γ = \frac{c - a - x}{b}, tehát γ = a r c cos \frac{c - a - x}{b} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} α = 180^{\circ} - δ, β = 180^{\circ} - γ . \end{matrix}

3^{\circ}

. A trapéz területe

\begin{matrix} t = \frac{(a + c) m}{2} = \frac{(a + c) b sin δ}{2} . \end{matrix}

(Pirityi István, Tata.)