Kezdőlap


Feladat:	2237. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Anderlik E. , Antal P. , Auer G. , Bereczky E. , Czurda J. , Döme R. , Engel S. , Enyedi E. , Fried V. , Földy Z. , Glücksthal A. , Goldstein Ö. , Grünwald J. , Hadarics K. , Horváth M. , Klein P. , Lénárd S. , Lovas A. , Lukács A. , Márkus J. , Molnár J. , Nagy L. J. , Okolicsányi F. , Oszwald F. , Peisner Gy. , Popper A. , Radó T. , Rajk M. , Sárkány F. , Somogyi Ö. , Stojkovits I. , Szende M. , Sziklai J. , Vermes P. , Weszely Hermann
Füzet:	1913/február, 172 - 173. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1912/december: 2237. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Feltételünk szerint

\begin{matrix} a x_{1}^{2} + b x_{1} + c + λ (a_{1} x_{1}^{2} + b_{1} x_{1} + c_{1}) = 0 \\ a x_{2}^{2} + b x_{2} + c + λ (a_{1} x_{2}^{2} + b_{1} x_{2} + c_{1}) = 0 \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} λ = - \frac{a x_{1}^{2} + b x_{1} + c}{a_{1} x_{1}^{2} + b_{1} x_{1} + c_{1}} = - \frac{a x_{2}^{2} + b x_{2} + c}{a_{1} x_{2}^{2} + b_{1} x_{2} + c_{1}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} (a x_{1}^{2} + b x_{1} + c) (a_{1} x_{2}^{2} + b_{1} x_{2} + c_{1}) = (a_{1} x_{1}^{2} + b_{1} x_{1} + c_{1}) (a x_{2}^{2} + b x_{2} + c) . \end{matrix}

Hajtsuk végre mindkét oldalon a szorzást, akkor összevonás után ezt kapjuk

\begin{matrix} a b_{1} x_{1}^{2} x_{2} - a_{1} b x_{1}^{2} x_{2} + a c_{1} x_{1}^{2} - a_{1} c x_{1}^{2} + a_{1} b x_{1} x_{2}^{2} - a b_{1} x_{1} x_{2}^{2} + b c_{1} x_{1} - b_{1} c x_{1} + \\ + a_{1} c x_{2}^{2} - a c_{1} x_{2}^{2} + b_{1} c x_{2} - b c_{1} x_{2} = 0. \end{matrix}

Ebből ismét

\begin{matrix} x_{1}^{2} x_{2} (a b_{1} - a_{1} b) - x_{1} x_{2}^{2} (a b_{1} - a_{1} b) + x_{1}^{2} (a c_{1} - a_{1} c) - x_{2}^{2} (a c_{1} - a_{1} c) + \\ + x_{1} (b c_{1} - b_{1} c) - x_{2} (b c_{1} - b_{1} c) = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (x_{1} - x_{2}) x_{1} x_{2} (a b_{1} - a_{1} b) + (x_{1} x_{2}) (x_{1} - x_{2}) (a c_{1} - a_{1} c) + (x_{1} + x_{2}) (b c_{1} - b_{1} c) = 0. \end{matrix}

Osszunk

(x_{1} - x_{2})

-vel, akkor

\begin{matrix} x_{1} x_{2} (a b_{1} - a_{1} b) - (x_{1} + x_{2}) (a_{1} c - b c_{1}) + b c_{1} - b_{1} c = 0. \end{matrix}

Második megoldás. Az adott egyenlet így is írható

\begin{matrix} x^{2} (a + λ a_{1}) + x (b + λ b_{1}) + c + λ c_{1} = 0, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b + λ b_{1}}{a + λ a_{1}}, x_{1} x_{2} = + \frac{c + λ c_{1}}{a + λ a_{1}} . \end{matrix}

E két utóbbi egyenletből

λ

-t kiszámítva

\begin{matrix} λ = - \frac{a (x_{1} + x_{1}) + b}{a_{1} (x_{1} + x_{2}) + b_{1}} = \frac{c - a x_{1} x_{2}}{a_{1} x_{1} x_{2} - c_{1}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} - (a_{1} x_{1} x_{2} - c_{1}) [a (x_{1} + x_{2}) + b] = (c - a x_{1} x_{2}) [a_{1} (x_{1} + x_{2}) + b 1] . \end{matrix}

A szorzást végrehajtva és rendezve:

\begin{matrix} x_{1} x_{2} (a b_{1} - a_{1} b) - (x_{1} + x_{2}) (a_{1} c - a c_{1}) + b c_{1} - b_{1} c = 0. \end{matrix}

(Weszely Hermann, Arad.)