Kezdőlap


Feladat:	2186. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Auer G. , Bezzegh A. , Czurda Imre , dévai fr. VII --VIII. oszt. math. köre , Gellért P. , Goldstein Ödön , Grünwald J. , Korvin P. , Lénárd S. , Lovas A. , Márkus J. , Márta A. , Molnár János , Okolicsányi F. , Pannonhalmi kis klérus , Paunz J. , Paunz L. , Popovics V. , Popper A. , Raab J. , Radó T. , Somogyi Ö. , Stojkovits I. , Vermes P. , Víg I. , Weiss J. , Weszely H.
Füzet:	1912/november, 62 - 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Paraméteres egyenlőtlenségek, Nevezetes egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1912/szeptember: 2186. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás: A feladat így is fogalmazható: Mutassuk ki, hogy $a$ minden valós értékére

\begin{matrix} 3 (1 + a^{2} + a^{4}) - {(1 + a + a^{2})}^{3} ≧ 0 \end{matrix}

vagy a műveleteket végrehajtva:

\begin{matrix} 2 a^{4} - 2 a^{3} - 2 a + 2 ≧ 0. \end{matrix}

Ezen egyenlőtlenség baloldalát

y

-nal jelölve

\begin{matrix} y = 2 a^{3} (a - 1) - 2 (a - 1) = 2 (a - 1) (a^{3} - 1) \end{matrix}

vagy még

\begin{matrix} y = 2 {(a - 1)}^{2} (a^{2} + a + 1) . \end{matrix}

Ámde

\begin{matrix} {(a - 1)}^{2} ≧ 0, \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} + a + 1 > 0, 2 > 0, \end{matrix}

tehát csakugyan

\begin{matrix} y ≧ 0. \end{matrix}

(Czurda Imre.)

Második megoldás: Kiindulunk a következőből

\begin{matrix} 2 {(a - 1)}^{2} ≧ 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 2 (a^{2} - 2 a + 1) ≧ 0. \end{matrix}

Adjunk az egyenlőtlenség mindkét oldalához

(1 + a + a^{2})

-ot, akkor

\begin{matrix} 3 (a^{2} - a + 1) ≧ (a^{2} + a + 1) . \end{matrix}

Szorozzuk mindkét oldalt az

(a^{2} + a + 1)

kifejezéssel, amely okvetlenül pozitív, akkor

\begin{matrix} 3 (a^{2} - a - 1) (a^{2} + a + 1) ≧ {(a^{2} + a + 1)}^{2} \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} 3 (a^{4} + a^{2} + 1) ≧ {(a^{2} + a + 1)}^{2} . \end{matrix}

(Goldstein Ödön, Budapest.)