Kezdőlap


Feladat:	2141. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Anczenberger L. , Csengery Piroska , Dózsa L. , Döme R. , Enyedi E. , Farkas Gyula , Fleischmann M. , Fried V. , Friedmann L. , Gatman E. , Gertler K. , Gescheit Alfréd , Goldberger J. , Goldstein Ödön , Gottfried G. , Holländer J. , Horvát M. , Káposztás P. , Kirchner J. , Klein P. , Krausz D. , König Gy. -- Boskovitz A. , Lénárd S. , Lovas A. , Mendik A. , Molnár Imre , Molnár János , Neményi P. , Paunz J. , Paunz T. , Popper A. , Raab J. , Rácz F. , Radó T. , Rajk M. , Róna J. , Sattler I. , Sevin H. , Stojkovits I. , Szabovlyevits B. , Szécsi G. , Vizi M. , Vogl A. , Vorgucsin G. , Weszely H.
Füzet:	1912/március, 192 - 193. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1912/január: 2141. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Jelöljük az oldalakat $a$ -val és $b$ -vel, az átlót $y$ -nal, akkor

\begin{matrix} y = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}, a b = t, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} y = \sqrt[]{a^{2} + \frac{t^{2}}{a^{2}}}, \end{matrix}

y

ott lesz a legkisebb, ahol a szerint vett differenciahányadosának értéke

y' = 0

, vagyis

\begin{matrix} y' = \frac{1}{2} {(a^{2} + \frac{t^{2}}{a^{2}})}^{- \frac{1}{2}} (2 a - 2 \frac{t^{2}}{a^{3}}) = 0. \end{matrix}

Ebből az egyenletből

\begin{matrix} a^{4} = t^{2}, tehát a = t^{\frac{1}{2}}, b = t^{\frac{1}{2}} . \end{matrix}

(Farkas Gyula, Sopron.)

Második megoldás. Az első megoldás jelöléseivel:

\begin{matrix} y = \sqrt[]{a^{2} + \frac{t^{2}}{a^{2}}} = \sqrt[]{2 t + {(a - \frac{t}{a})}^{2}}, \end{matrix}

Innen látható, hogy

y

akkor a legkisebb, ha

\begin{matrix} {(a - \frac{t}{a})}^{2} = 0, vagyis a = t^{\frac{1}{2}} = b . \end{matrix}

(Gescheit Alfréd, Gyula.)

Harmadik megoldás. Jelöljük az átlónak az

a

oldallal bezárt szögét

φ

-vel akkor

\begin{matrix} t = a b = y \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} y^{2} = \frac{2 t}{sin 2 φ} . \end{matrix}

y^{2}

és ezzel együtt

y

akkor lesz minimális, ha a nevező a lehető legnagyobb, vagyis

\begin{matrix} sin 2 φ = 1, φ = 45^{\circ} . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} y = {(2 t)}^{\frac{1}{2}} és  igy a = b = t^{\frac{1}{2}} . \end{matrix}

(Goldstein Ödön, Budapest.)