Kezdőlap


Feladat:	2120. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Anczenberger L. , Árvai J. , Csengery Piroska , dévai áll. főreál. VI oszt. , Döme R. , Enyedi E. , Farkas Gy. , Feldmár M. , Filep L. , Fleischmann M. , Fried V. , Gescheit A. , Goldstein Ö. , Gomperz E. , Káposztás P. , Kaufmann S. , Kláris Gy. , Klein P. , Lénárt György , Lovas A. , Mendik A. , Neményi P. , Pannonhalmi kis klérus , Paunz János , Paunz T. , Popper A. , Puszter J. , Raab J. , Rácz F. , Radó T. , Rajk M. , Sárkány F. , Sattler I. , Sevin H. , Somogyi Ö. , Spitzer L. , Spitzer S. , Steiner Gy. , Stojkovits I. , Szodfridt J. , Tapasztó Gy. , Trugly Ö. , Vermes Pál , Víg J. , Vizi M.
Füzet:	1912/március, 197 - 198. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1911/december: 2120. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás.

\begin{matrix} a^{2} = {(d q + 1)}^{2} = d^{2} q^{2} + 2 d q + 1 = d (d q^{2} + 2 q) + 1. \end{matrix}

(d q^{2} + 2 q)

-t röviden

q_{2}

-vel jelölve

\begin{matrix} a^{2} = d q^{2} + 1. \end{matrix}

Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} a^{n} = d q_{n} + 1, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} a^{n + 1} = (d q_{n} + 1) (d q + 1) = d^{2} q q_{n} + d (q + q_{n}) + 1 = d (d q q_{n} + q + q_{n}) + 1. \end{matrix}

Ha tehát

d q q_{n} + q + q_{n}

helyett

q_{n + 1}

-t írunk, akkor

\begin{matrix} a^{n + 1} = d q_{n + 1} + 1. \end{matrix}

Ha tehát a tétel igaz

n

-re, akkor igaz lesz

(n + 1)

-re is, ámde

n = 2

esetében helyes volt, helyes marad tehát

a = 3

4

5 ...

minden pozitív értékére nézve.

(Paunz János, Pécs.)

Második megoldás.

a^{n} = {(d y + 1)}^{n}

értékét kifejtve

\begin{matrix} a^{n} = d^{n} q^{n} + (\binom{n}{1}) d^{n - 1} q^{n - 1} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) d q + 1 = d q_{n} + 1. \end{matrix}

(Lénárt György, Budapest.)

Harmadik megoldás. Feltételünk szerint

a - 1

osztható

d

-vel, tehát

\begin{matrix} (a - 1) (a^{n - 1} + a^{n - 2} + \dots + a^{2} + a + 1) = a^{n} - 1 \end{matrix}

is osztható

d

-vel. tehát

\begin{matrix} a^{n} - 1 = d q_{n}, ahonnan a^{n} = d q_{n} + 1. \end{matrix}

(Vermes Pál, Budapest.)