Kezdőlap


Feladat:	2020. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Anczenberger L. , Árvai J. - Vogl A. , Döme R. , Egri Károly , Fábián Gy. , Fábián P. - Hantó J. , Farkas Gy. , Farkas György , Farkas L. , Fläsch J. , Fried V. , Gertler K. , Goldstein Ö. , Halász B. , Haviár Gy. , Hoffner F. , Hoffner G. , Holländer J. , Janicsek J. , Klein F. G. , Lengyel B. , Lőrincz L. , Mandler J. , Mendik A. , Messinger L. , Nagy B. , Okolicsányi A. , Paunz T. , Reich S. , Rieger J. , Schweitzer P. , Sevin H. , Spitzer S. , Szabó N. , Szabovlyevits B. , Szécsi G. , Szegő G. , Szlabey E. , Szóbel S. , Tihanyi M. , Turnai L. , Veress P. , Vizi M.
Füzet:	1911/június, 233 - 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Csonkagúlák, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Térelemek és részeik, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1911/január: 2020. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Az alaplap 6 egyenlőoldalú háromszögből áll, tehát területe

\begin{matrix} A = 6 \cdot \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{3} = \frac{3 a^{2} \sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Ha a gúla oldaléle

b

, akkor az oldallapok területének összege

\begin{matrix} O = 6 \cdot \frac{a}{4} \cdot \sqrt[]{b^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{3 a \sqrt[]{4 b^{2} - a^{2}}}{2} . \end{matrix}

Feltételünk szerint a gúla teljes felülete

\begin{matrix} \frac{3 a^{2} \sqrt[]{3}}{2} + \frac{3 a \sqrt[]{4 b^{2} - a^{2}}}{2} = \frac{9 a^{2} \sqrt[]{3}}{2}, ahonnan b = \frac{a}{2} \sqrt[]{13} . \end{matrix}

Ismervén

b

értékét, kiszámíthatjuk a gúla

m

magasságát is

\begin{matrix} m = \sqrt[]{b^{2} - a^{2}} = \sqrt[]{\frac{13 a^{2}}{4} - a^{2}} = \frac{3 a}{2}, \end{matrix}

tehát a gúla köbtartalma

\begin{matrix} V = \frac{A \cdot m}{3} = (\frac{3 a^{2} \sqrt[]{3}}{2} \cdot \frac{3 a}{2}) : 6 = \frac{3 a^{3} \sqrt[]{3}}{4} . \end{matrix}

2^{\circ}

. Ha a levágott kis gúla alaplapjának területét

B

-vel, magasságát

m_{1}

-gyel jelöljük, akkor

\begin{matrix} B : A = m_{1}^{2} : m^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} : {(3 \frac{a}{2})}^{2} = 1 : 9, tehát B = \frac{A}{9} = \frac{a^{2} \sqrt[]{3}}{6} . \end{matrix}

A levágott gúla köbtartalma tehát

\begin{matrix} V_{l} = \frac{B \cdot m_{1}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt[]{3}}{36} \end{matrix}

és a csonka gúla köbtartalma

\begin{matrix} V_{c s} = V - V_{l} = \frac{3 a^{3} \sqrt[]{3}}{4} - \frac{a^{3} \sqrt[]{3}}{36} = \frac{13 a^{3} \sqrt[]{3}}{18} . \end{matrix}

(Egri Károly, Kaposvár.)