Kezdőlap


Feladat:	1898. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási E. , Berényi L. , Egyedi Gy. , Eicher J. , Ertl G. , Fábián P. , Fáy K. , Fleischmann Ilona , Grün S. , Grünwald E. , Gröner J. , Gyulai P. , Hantó J. és Horváth D. , Hlucsil K. , Hoffner F. , Janicsek József , Kilczer Gy. , Klein F. G. , Klinger Gy. és J. , Klopstock H. , Kohn N. , Kovács K. , Krausz Ilona , Kürtössy L. , Lantos E. , Lederer I. , Lengyel B. , Lukács T. , Messinger L. , Müller J. , Noiret A. , Okolicsányi A. , Ország P. , Paunz T. , Simkovits E. , Szabady J. , Szegő G. , Szóbel S. , V. Nagy József , Weisz Ö.
Füzet:	1910/november, 57 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Derékszögű háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Mértani sorozat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1910/január: 1898. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. $a)$ Ha a sor hányadosa $q$ , akkor a háromszög oldalait így írhatjuk föl: $a, a q, a q^{2}$ . Pythagoras tétele értelmében

\begin{matrix} {(a q^{2})}^{2} = {(a q)}^{2} + a^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} q^{4} - q^{2} - 1 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} q = \sqrt[]{\frac{1 + \sqrt[]{5}}{2}}, \end{matrix}

ahol a négyzetgyököket pozitiv előjellel kell vennünk, mert

q > 1

b)

\begin{matrix} sin α = \frac{a}{a q^{2}} = \frac{1}{q^{2}} = \frac{2}{1 + \sqrt[]{5}} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} α = 38^{\circ} 10' 23'', \end{matrix}

\begin{matrix} β = 90^{\circ} - α = 51^{\circ} 49' 37'' . \end{matrix}

(V. Nagy József, Pécs.)

Második megoldás.

a)

Ha a háromszög oldalai

a, b, c

, akkor feltételünk szerint

\begin{matrix} b^{2} = a c . \end{matrix}

Ámde

a = c \cdot sin α, b = c \cdot cos α

, azért

\begin{matrix} c^{2} \cdot cos^{2} α = c^{2} \cdot sin α, \end{matrix}

ahonnan, ‐

cos^{2} α

értékét

sin α

-val fejezvén ki, ‐

\begin{matrix} sin^{2} α + sin α - 1 = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} sin α = \frac{- 1 + \sqrt[]{5}}{2}, \end{matrix}

a négyzetgyök csakis pozitiv előjellel vehető tekintetbe, mert

α

hegyesszög, tehát

sin α > 0

. Az utolsó egyenletből

\begin{matrix} α = 38^{\circ} 10' 23'' és β = 90^{\circ} - α = 51^{\circ} 49' 37'' . \end{matrix}

b) Ha a sor hányadosa

q

, akkor

\begin{matrix} \frac{c}{a} = \frac{1}{sin α} = q^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} q = \sqrt[]{\frac{1}{sin α}} = \sqrt[]{\frac{2}{\sqrt[]{5} - 1}} = \sqrt[]{\frac{1 + \sqrt[]{5}}{2}} . \end{matrix}

(Janicsek József, Budapest.)