Kezdőlap


Feladat:	1897. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Döme R. , Egyedi Gy. , Eicher J. , Ertl G. , Fábián Gy. , Fáy Károly , Grün S. , Grünwald E. , Gröner J. , Gyulai I. , Hlucsil K. , Hoffner Ferenc , Janicsek J. , Klein F. G. , Kohn Nándor , Kovács K. , Krausz Ilona , Kürtössy L. , Lengyel B. , Lichter M. , Lukács T. , Okolicsányi A. , Simkovits E. , Szabady J. , Szegő G. , Weisz Ö.
Füzet:	1910/június, 234 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Nevezetes azonosságok, Összefüggések binomiális együtthatókra, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1910/január: 1897. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. A binominális kifejtést felhasználva

\begin{matrix} p^{n} = {[(p - 1) + 1]}^{n} = {(p - 1)}^{n} + (\binom{n}{1}) {(p - 1)}^{n - 1} + ... + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{n}{n - 2}) {(p - 1)}^{2} + (\binom{n}{n - 1}) (p - 1) + 1 = \end{matrix}

\begin{matrix} = (p - 1) [{(p - 1)}^{n - 1} + (\binom{n}{1}) {(p - 1)}^{n - 2} + ... + (\binom{n}{n - 2}) (p - 1) + (\binom{n}{n - 1})] + 1 = \end{matrix}

\begin{matrix} = (p - 1) [(p - 1) ({(p - 1)}^{n - 2} + (\binom{n}{1}) {(p - 1)}^{n - 3} + ... + (\binom{n}{n - 2})) + n] + 1 = \end{matrix}

\begin{matrix} = (p - 1) [(p - 1) \cdot A + n] + 1, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} A = {(p - 1)}^{n - 2} + (\binom{n}{1}) {(p - 1)}^{n - 3} + ... + (\binom{n}{n - 2}) = egész szám. \end{matrix}

(Fáy Károly, Szekszárd.)

Második megoldás.

\begin{matrix} \frac{p^{n} - 1}{p - 1} = p^{n - 1} + p^{n - 2} + ... + p^{2} + p + 1. \end{matrix}

A jobboldalon

n

összeadandó van. Vonjunk le mindkét oldalon

n

-t, akkor

\begin{matrix} \frac{p^{n} - 1}{p - 1} - n = (p^{n - 1} - 1) + (p^{n - 2} - 1) + ... + (p^{2} - 1) + (p - 1) + (1 - 1) . \end{matrix}

Minthogy a jobboldal minden összeadandója osztható

(p - 1)

-gyel, azért

\begin{matrix} \frac{p^{n} - 1}{p - 1} - n = (p - 1) \cdot A, \end{matrix}

ahonnan a nevező eltávolítása és rendezés után

\begin{matrix} p^{n} = (p - 1) [(p - 1) \cdot A + n] + 1. \end{matrix}

(Hoffner Ferenc, Sopron.)

Harmadik megoldás. Ha bebizonyítottuk, hogy

p

és

n

tetszés szerinti egész számú értékei mellett

A

egész szám, akkor a tételt bebizonyítottuk.

\begin{matrix} A = \frac{p^{n} - 1 - n (p - 1)}{{(p - 1)}^{2}} = \frac{\frac{p^{n} - 1}{p - 1} - n}{p - 1} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{p^{n - 1} + p^{n - 2} + ... + p^{2} + p + 1 - n}{p - 1} = \end{matrix}

\begin{matrix} = p^{n - 2} + 2 \cdot p^{n - 3} + 3 p^{n - 4} + ... + (n - 3) p^{2} + (n - 2) p + (n - 1), \end{matrix}

ami csakugyan mindig egész szám. Tehát

\begin{matrix} p^{n} = (p - 1) [(p - 1) (p^{n - 2} + 2 \cdot p^{n - 3} + ... + (n - 2) \cdot p + (n - 1)) + n] + 1. \end{matrix}

(Kohn Nándor, Budapest.)