Kezdőlap


Feladat:	1862. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Breuer L. , Egyedi Gy. , Fáy K. , Grünwald E. , Gyulai I. , Hlucsil Károly , Kilczer Gy. , Klein F. G. , Kohn N. , Kürtössy L. , Lengyel B. , Messinger L. , Okolicsányi A. , Ország P. , Simkovits E. , Stärk M. , Szabady J. , Szegő G. , VII. ker. Barcsay u. fg. VIII.B) osztálya, Budapest , Weisz Ö.
Füzet:	1910/január, 111 - 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Függvényvizsgálat, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1909/november: 1862. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szélső érték akkor lép föl, ha $x = - \frac{b}{2 a}$ , mikor is a hozzátartozó függvényérték $y = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ . Fennállanak tehát a következő egyenletek

\begin{matrix} - \frac{b}{2 a} = m, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = n \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} és a p^{2} + b p + c = r . \end{matrix}

(3)

Számítsuk ki az első egyenletből

b

-t és helyettesítsük be a másik két egyenletbe, akkor lesz:

\begin{matrix} 4 a c - 4 a^{2} m^{2} = 4 a n, vagyis c - a m^{2} = n, \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} a p^{2} - 2 a m p + c = r, vagyis a (p^{2} - 2 m p) + c = r . \end{matrix}

(5)

A (4) és (5)-ből

\begin{matrix} a = \frac{r - n}{{(p - m)}^{2}} . \end{matrix}

(

α

)

Az (1) és (

α

)-ból

\begin{matrix} b = - \frac{2 m (r - n)}{{(p - m)}^{2}} . \end{matrix}

(

β

)

Az (5) és (

α

)-ból

\begin{matrix} c = n + (r - n) {(\frac{m}{p - m})}^{2} . \end{matrix}

(

γ

)

(Hlucsil Károly, Kiszucaujhely.)

Diszkusszió.

1^{\circ}

. Ha

r = n

, akkor

\begin{matrix} a = b = 0, c = n, \end{matrix}

tehát a másodfokú függvény

y = c = n

állandóra redukálódnék.

2^{\circ}

. Ha

p = m

, akkor a feladat

r = n

esetében határozatlan,

r \neq n

esetében pedig lehetetlenséget fejez ki.

m. v.