Kezdőlap


Feladat:	1796. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Egyedi Gy. , Eicher J. , Fábián P. , Fáy Károly , Gara P. , Grünwald E. , Hatvany E. , Hegedűs O. , Kilczer Gy. , Klein F. G. , Kohn Nándor , Oestereicher S. , Okolicsányi A. , Raj L. , Sacher P. , Simkovits E. , Szidon S. , Szilágyi E. , Ungvári kir. kath. főgimn. math. kör , Varga S. , Vecsei J.
Füzet:	1909/június, 247. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékosztályok, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1909/február: 1796. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. A binomiális tétel alkalmazásával

\begin{matrix} 5342^{82} = {(485 \cdot 11 + 7)}^{82} = a \cdot 11 + 7^{82} . \end{matrix}

Ámde

\begin{matrix} 7^{82} = 7^{80} \cdot 49 = 7^{80} (4 \cdot 11 + 5) = 7^{80} \cdot 4 \cdot 11 + 7^{80} \cdot 5 = b_{0} \cdot 11 + 7^{80} \cdot 5. \end{matrix}

Ezen eljárást megismételve

7^{80} = b_{1} \cdot 11 + 7^{78} \cdot 5; 7^{78} = b_{2} \cdot 11 + 7^{76} \cdot 5, ... 7^{2} = b_{40} \cdot 11 + 5,

tehát

\begin{matrix} 5342^{82} = a \cdot 11 + b_{0} \cdot 11 + b_{1} \cdot 11 + b_{2} \cdot 11 + ... + b_{40} \cdot 11 + 5 = m \cdot 11 + 5, \end{matrix}

vagyis a

11

-gyel való osztás maradéka

5

(Fáy Károly, Szekszárd.)

Második megoldás.

\begin{matrix} 5342^{82} & = {(485 \cdot 11 + 7)}^{82} = a \cdot 11 + 7^{82} . \\ De 7^{82} & = 49^{41} = {(4 \cdot 11 + 5)}^{41} = b \cdot 11 + 5^{41}, \\ 5^{41} & = 5 \cdot 5^{40} = 5 \cdot 25^{20} = 5 {(2 \cdot 11 + 3)}^{20} = c \cdot 11 + 5 \cdot 3^{20}, \\ 5 \cdot 3^{20} & = 5 \cdot 81^{5} = 5 {(7 \cdot 11 + 4)}^{5} = d \cdot 11 + 5 \cdot 4^{5}, \\ 5 \cdot 4^{5} & = 20 \cdot 4^{4} = 20 \cdot 16^{2} = 20 {(11 + 5)}^{2} = e \cdot 11 + 20 \cdot 5^{2} \\ 20 \cdot 5^{2} & = 500 = 45 \cdot 11 + 5 = f \cdot 11 + 5, \\ tehát 5342^{82} & = (a + b + c + d + e + f) 11 + 5, \end{matrix}

vagyis a

11

-gyel való osztás maradéka

5

(Kohn Nándor, Budapest.)