Feladat:	1783. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czuczor Önképzőkör, Esztergom ,  Dezső I. ,  Eicher Jakab ,  Előd E. ,  Grünwald E. ,  Harkányi J. ,  Kilczer Gy. ,  Klein F. G. ,  Kohn N. ,  Lengyel B. ,  Lichter M. ,  Lukács T. ,  Messinger L. ,  Oestereicher S. ,  Politzer I. ,  Sacher P. ,  Simkovits E. ,  Varga S. ,  Vecsei J.
Füzet:	1909/június, 256. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1909/január: 1783. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \text{sin}2\alpha +\text{sin}2\beta +\text{sin}2\gamma -\text{sin}2\left(\alpha +\beta +\gamma \right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =2\text{sin}\left(\alpha +\beta \right)\text{cos}\left(\alpha -\beta \right)+2\text{cos}\left(\alpha +\beta +2\gamma \right)\text{sin}\left(-\alpha -\beta \right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =2\text{sin}\left(\alpha +\beta \right)\text{cos}\left(\alpha -\beta \right)-2\text{cos}\left(\alpha +\beta +2\gamma \right)\text{sin}\left(\alpha +\beta \right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =2\text{sin}\left(\alpha +\beta \right)\left[\text{cos}\left(\alpha -\beta \right)-\text{cos}\left(\alpha +\beta +2\gamma \right)\right]=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =2\text{sin}\left(\alpha +\beta \right)\left[-2\text{sin}\left(\alpha +\gamma \right)\text{sin}\left(-\beta -\gamma \right)\right]=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =4\text{sin}\left(\alpha +\beta \right)\text{sin}\left(\alpha +\gamma \right)\text{sin}\left(\beta +\gamma \right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\alpha +2\beta +2\gamma ={180}^{\circ }\mathrm{,}}\end{array}$ akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \gamma ={90}^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)\text{és}\text{sin}2\left(\alpha +\beta +\gamma \right)=0}\end{array}$ és így ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \text{sin}2\alpha +\text{sin}2\beta +\text{sin}2\gamma =}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =4\text{sin}\left({90}^{\circ }-\gamma \right)\text{sin}\left({90}^{\circ }-\beta \right)\text{sin}\left({90}^{\circ }-\alpha \right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =4\text{cos}\alpha \text{cos}\beta \text{cos}\gamma \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   (Eicher Jakab, Szekszárd.)