Kezdőlap


Feladat:	1679. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Báron Gy. , Breuer L. , Előd E. , Hegedűs O. , Horvát J. , Kudlák L. , Peisner K. , Pollák S. , Sacher P. , Szidon Simon , Ungvári kir. kath. fg. math. köre
Füzet:	1908/március, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Bernoulli-féle egyenlőtlenség, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1908/január: 1679. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kimutatjuk, hogy ha $n$ -nek bizonyos értéke

\begin{matrix} 3^{n} > n^{3}, \end{matrix}

(1)

akkor

n

-nek

1

-gyel nagyobb értékére is helyes tételünk, vagyis, hogy akkor

\begin{matrix} 3^{n + 1} > {(n + 1)}^{3} . \end{matrix}

(2)

Kiindulunk a következő egyenlőtlenségből:

\begin{matrix} 3 > {(\frac{n + 1}{n})}^{3} = 1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} . \end{matrix}

(3)

Eme egyenlőtlenség helyességéről, ha

n = 4

, közvetlenül meggyőződhetünk, mert ekkor

\begin{matrix} {(\frac{n + 1}{n})}^{3} = \frac{125}{64} . \end{matrix}

Ha pedig

n

nagyobbodik, egyenlőtlenségünk még inkább érvényes, mert (3)-ban a jobb oldal második, harmadik és negyedik tagja

n

-nek nagyobbodásával mindinkább kisebbedik.
Szorozzuk meg (1)-et 3-mal, akkor

\begin{matrix} 3^{n + 1} > {(n + 1)}^{3} . \end{matrix}

vagyis kitűnik (2) helyessége. Ha

n = 4

, akkor

3^{4} = 81

és

4^{3} = 64

lévén:

\begin{matrix} \sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4} . \end{matrix}

(2) értelmében tehát

\begin{matrix} 3^{5} > 5^{3}, 3^{6} > 6^{3} s i. t. \end{matrix}

(1) és (2) azonban így is írható

\begin{matrix} \sqrt[3]{3} > \sqrt[n]{n}, \sqrt[3]{3} > \sqrt[n + 1]{n + 1} . \end{matrix}

n = 4

esetére tételünk érvényessége közvetlenül kitűnik. De ekkor (2) értelmében helyes tételünk, ha

n

annyi mint 5, 6 s i. t.

(Szidon Simon, Versec.)

Jegyzet. A legtöbb megoldó állításainak egy részét nem bizonyítja.