Kezdőlap


Feladat:	1601. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs Gy. , Báron Gy. , Bazilly M. , Bíró E. , Diamant M. , Feith P. , Goldstein J. , Grünhut F. , Klein A. , König L. , Lukács F. , Mayer L. , Peisner Károly , Pollák S. , Rothschadl F. , Sacher P. , Silbermann J. , Singer H. , Strömpl J. , Tolnai J.
Füzet:	1908/március, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Hossz, kerület, Számtani sorozat, Szinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1907/március: 1601. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a legkisebb szög $α$ , akkor

\begin{matrix}  \end{matrix}

α+α+d+α+2d=180∘,3α+3d=180∘,α+d=60∘,

ahonnan

\begin{matrix}  \end{matrix}

α=60∘-d,β=60∘,γ=60∘+d,

A sinus-tétel szerint:

\begin{matrix} a : b : c = sin α : sin β : sin γ . \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} c : (a + b + c) = sin γ : (sin α + sin β + sin γ) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 s i n \frac{γ}{2} cos \frac{γ}{2} : 4 cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{c}{a + b + c} = \frac{sin \frac{γ}{2}}{2 c o s \frac{α}{2} cos \frac{β}{2}} = \frac{sin (30^{\circ} + \frac{d}{2})}{2 cos (30^{\circ} - \frac{d}{2}) cos 30^{\circ}} . \end{matrix}

és végül

\begin{matrix} \frac{c}{a + b + c} = \frac{sin (30^{\circ} + \frac{d}{2})}{\sqrt[]{3} \cdot cos (30^{\circ} - \frac{d}{2})} \end{matrix}

(1)

1^{\circ}

. Ha

d = 0

, akkor a szögek egyenlők, tehát egyenlő oldalú háromszöggel van dolgunk és így

\begin{matrix} \frac{c}{a + b + c} = \frac{c}{c + c + c} = \frac{1}{3} . \end{matrix}

Az (1) képletből pedig

\begin{matrix} \frac{c}{a + b + c} = \frac{sin 30^{\circ}}{\sqrt[]{3} cos 30^{\circ}} = \frac{tg 30^{\circ}}{\sqrt[]{3}} = \frac{1}{\sqrt[]{3} \sqrt[]{3}} = \frac{1}{3} . \end{matrix}

2^{\circ}

. Ha

d = 30^{\circ}

, akkor a háromszög úgynevezett normál derékszögű háromszög, amelynek oldalai:

a

a \sqrt[]{3}

és

2 a

, tehát

\begin{matrix}  \end{matrix}

α=60∘-30∘=30∘,β=60∘,γ=60∘+30∘=90∘.

A legnagyobb oldal a

c = 2 a

(az átfogó), a kerület

a + a \sqrt[]{3} + 2 a = a (3 + \sqrt[]{3})

, s így az arány

\begin{matrix} \frac{c}{a + b + c} = \frac{2 a}{a (3 + \sqrt[]{3})} = \frac{2}{3 + \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Az (1) képletből pedig

\begin{matrix} \frac{c}{a + b + c} = \frac{sin 45^{\circ}}{\sqrt[]{3} \cdot cos 15^{\circ}} = \frac{sin 45^{\circ}}{\sqrt[]{3} \sqrt[]{\frac{1 + cos 30^{\circ}}{2}}} = \frac{\frac{\sqrt[]{2}}{2}}{\sqrt[]{3} \sqrt[]{\frac{1 + \frac{\sqrt[]{2}}{2}}{2}}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3} \sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}}} = \frac{2}{\sqrt[]{6} \sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}}} = \frac{2}{\sqrt[]{12 + 6 \sqrt[]{3}}} = \frac{2}{\sqrt[]{9 + 6 \sqrt[]{3} + 3}} = \frac{2}{3 + \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

(Peisner Károly, Budapest.)