Feladat: 1493. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baján A. ,  Báron Gy. ,  Eisler D. ,  Feith P. ,  Gallia M. ,  Gellért H. ,  Gotléb I. ,  Grünhut F. ,  Götz I. ,  Klein Adolf ,  Ledács Kiss A. ,  Lendvai D. ,  Locsy E. ,  Lukács F. ,  Mauksch E. ,  Mayer L. ,  Milhofer L. ,  Németh E. ,  Orphanides Etelka ,  Pálos T. ,  Paunz R. ,  Petrics D. ,  Schügerl M. ,  Schönfeld D. ,  Silbermann J. ,  Szántó L. ,  Szobotka D. ,  Szommer I. ,  Szöllős H. ,  Tolnai J. ,  Vértes R. 
Füzet: 1906/október, 40. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1906/március: 1493. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a téglalap egyik oldala 2x; ekkor a keletkező idom területe:

T=2x(2a-2x)+x2π+(a-x)2π=
=2(π-2)x2+2a(2-π)x+a2π.

E függvénynek minimális értéke van, mert együtthatója pozitív. A függvény akkor veszi fel a minimális értékét, ha
x=(π-2)2a4(π-2)=a2.
A téglalap egyik oldala tehát 2x=a. Ekkor a téglalap másik oldala
2a-2x=2a-a=a.
A keresett idom területe tehát akkor lesz minimális, ha a téglalap mindegyik oldala a, vagyis ha a téglalap négyzet.
 

(Klein Adolf, Székesfehérvár.)