Kezdőlap


Feladat:	1493. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baján A. , Báron Gy. , Eisler D. , Feith P. , Gallia M. , Gellért H. , Gotléb I. , Grünhut F. , Götz I. , Klein Adolf , Ledács Kiss A. , Lendvai D. , Locsy E. , Lukács F. , Mauksch E. , Mayer L. , Milhofer L. , Németh E. , Orphanides Etelka , Pálos T. , Paunz R. , Petrics D. , Schügerl M. , Schönfeld D. , Silbermann J. , Szántó L. , Szobotka D. , Szommer I. , Szöllős H. , Tolnai J. , Vértes R.
Füzet:	1906/október, 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1906/március: 1493. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a téglalap egyik oldala $2 x$ ; ekkor a keletkező idom területe:

\begin{matrix} T = 2 x (2 a - 2 x) + x^{2} π + {(a - x)}^{2} π = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 (π - 2) x^{2} + 2 a (2 - π) x + a^{2} π . \end{matrix}

E függvénynek minimális értéke van, mert együtthatója pozitív. A függvény akkor veszi fel a minimális értékét, ha

\begin{matrix} x = \frac{(π - 2) \cdot 2 a}{4 (π - 2)} = \frac{a}{2} . \end{matrix}

A téglalap egyik oldala tehát

2 x = a

. Ekkor a téglalap másik oldala

\begin{matrix} 2 a - 2 x = 2 a - a = a . \end{matrix}

A keresett idom területe tehát akkor lesz minimális, ha a téglalap mindegyik oldala

a

, vagyis ha a téglalap négyzet.

(Klein Adolf, Székesfehérvár.)