Kezdőlap


Feladat:	1453. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Altstock H. , Baján A. , Bauer E. , Erdős V. , Gotléb I. , Helfgott Á. , Jánosy J. , Lendvai D. , Mauksch E. , Mayer L. , Neumann L. , Pálos T. , Szántó L. , Szobotka D. , Szőllős Hermann , Szommer I. , Tolnai J. , Vámos M. , Vértes R.
Füzet:	1906/június, 248 - 249. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt háromszög, Beírt alakzatok, Konvergens sorok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/december: 1453. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a négyzetek oldalai rendre $a, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...,$ s legyen az adott négyzetbe rajzolt egyenlőoldalú háromszög oldala $b$ . Ekkor

\begin{matrix} b = \frac{a}{cos 15^{\circ}} = 2 a \sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}} és b - a_{1} = \frac{a_{1}}{cos 30^{\circ}}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a_{1} = \frac{b cos 30^{\circ}}{1 + cos 30^{\circ}} = \frac{b \sqrt[]{3}}{2 + \sqrt[]{3}} = b_{1} \sqrt[]{3} (2 - \sqrt[]{3}) = 2 a \sqrt[]{3} {(2 - \sqrt[]{3})}^{\frac{3}{2}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a_{1}^{2} = 12 a^{2} {(2 - \sqrt[]{3})}^{3} . \end{matrix}

Ugyanígy

\begin{matrix} a_{2}^{2} = 12 a_{1}^{2} {(2 - \sqrt[]{3})}^{3}, \end{matrix}

\begin{matrix} a_{2}^{3} = 12 a_{2}^{2} {(2 - \sqrt[]{3})}^{3}, \end{matrix}

...

a, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...,

végtelen geometriai haladvány összege véges, mert

a_{k + 1}^{2} < a_{k}^{2}

, tehát a keresett összeg

\begin{matrix} S = \frac{a^{2}}{1 - 12 {(2 - \sqrt[]{3})}^{3}} = \frac{a^{2}}{180 \sqrt[]{3} - 311} = \frac{a^{2} (180 \sqrt[]{3} + 311)}{479} = 1, 300 a^{2} . \end{matrix}

(Szőllős Hermann, Esztergom.)