Kezdőlap


Feladat:	1438. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Altstock H. , Baján A. , Bauer E. , Crisian A. , Eisler D. , Előd L. , Erdős V. , Gotléb I. , Kirner V. , Ledács Kiss A. , Lendvai D. , Lukács F. , Mauksch E. , Pálos T. , Pető J. , Petrics D. , Schönfeld D. , Silbermann J. , Szobotha Dezső , Szöllős H. , Ungar E. , Vámos M. , Weisz S.
Füzet:	1906/március, 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/november: 1438. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elemzés: Tekintsük a feladatot megoldottnak és legyen $A B C$ a keresett háromszög $(b > c)$ . A $C A$ meghosszabbítására vigyük fel az $A D = c$ darabot, akkor a $B C D$ segédháromszöget kapjuk, melyet már megszerkeszthetünk, mert ismerjük két oldalát $(B C = a, C D = b + c)$ és a nagyobbikkal szemben fekvő $φ$ -szöget. Ugyanis

\begin{matrix} D B C ∢ = φ = β + \frac{α}{2} = β + 90^{\circ} - \frac{β}{2} - \frac{γ}{2} = 90^{\circ} + \frac{β - γ}{2} . \end{matrix}

Szerkesztés: Tetszésszerinti egyenesre rávisszük a

B C = a

darabot;

B

-hez odamásoljuk a

90^{\circ} + \frac{β - γ}{2}

szöget, melynek szabad szárát a

C

-ből

b + c

sugárral vont kör

D

-ben messe. Ha már most a

B D

-t merőlegesén felező egyenes

C D

-t

A

-ban metszi, akkor

A B C

a keresett háromszög.
Bizonyítás: Az

A B C

háromszögben

B C = a

és minthogy az

A B D

háromszög egyenlőszárú, azért

\begin{matrix} B A = A D, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} C A + B A = C A + A D = b + c . \end{matrix}

Végül

\begin{matrix} A B C ∢ - A C B ∢ = D B C ∢ - D B A ∢ - A C B ∢ = \end{matrix}

\begin{matrix} = D B C ∢ - B D A ∢ - A C B ∢ = D B C ∢ - (180^{\circ} - D B C ∢) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 D B C ∢ - 180^{\circ} = 180^{\circ} + 2 \frac{β - γ}{2} - 180^{\circ} = β - γ . \end{matrix}

Determináció: A feladat megoldható, ameddig

b + c > a

és

β - γ < 180^{\circ}

. A megoldás egyértelmű, mivel két oldal és a nagyobbikkal szembenfekvő szögből a

D B C

segédháromszög egyértelműleg van meghatározva.

(Szobotha Dezső, Esztergom.)