Kezdőlap


Feladat:	1428. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Altstock H. , Baján A. , Báron Gy. , Bauer E. , Crisian A. , Csánky Mariska , Ehrenstein Stella , Eisler D. , Előd L. , Erdős V. , Forintos K. , Fried E. , Gotléb I. , Grünhut F. , Götz Irén , Helfgott Á. , Jánosy J. , Klein A. , Ledács Kiss A. , Lendvai D. , Máthé E. , Mauksch E. , Mayer L. , Neumann L. , Pálos T. , Pető I. , Petrics D. , Polyák J. , Rosenberg E. , Róth Zs. , Schudich L. , Schönfeld D. , Silbermann J. , Spátz J. , Szántó L. , Szobotka D. , Szommer I. , Szöllös H. , Tolnai J. , Ungar Endre , Vámos J.
Füzet:	1906/január, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/október: 1428. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a húrnégyszög átlói $d_{1}$ és $d_{2}$ , a hozzájuk tartozó középponti szögek $α$ és $β$ . Ha $r$ a kör sugara, akkor

\begin{matrix} d_{1} = 2 r sin \frac{α}{2}, d_{2} = 2 r sin \frac{β}{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} 2 r π = 3 + 4 + 5 + 6 = 18 s így 2 r = \frac{18}{π}; \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} {A B C}_{}^{⌢} : 2 r π = α : 360^{\circ} \end{matrix}

és

\begin{matrix} {B C D}_{}^{⌢} : 2 r π = β : 360^{\circ}, \end{matrix}

mely egyenletekből

\begin{matrix} α = \frac{{A B C}_{}^{⌢} \cdot 360^{\circ}}{2 r π} = \frac{9 \cdot 360^{\circ}}{18} = 180^{\circ} . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} d_{1} = \frac{18}{π} sin 70^{\circ} és d_{2} = \frac{18}{π} . \end{matrix}

A számításokat elvégezve:

\begin{matrix} d_{1} = 5,3840 cm d_{2} = 5,7296 cm . \end{matrix}

(Ungar Endre, Budapest.)