Kezdőlap


Feladat:	1423. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schönfeld Dezső
Füzet:	1905/december, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/október: 1423. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feladatunk értelmében, ha a téglalap szomszédos oldalai $a$ és $b$ ,

\begin{matrix} a + b = \frac{k}{2} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} \frac{a b}{a^{2} + b^{2}} = μ \end{matrix}

(2)

Az első egyenletet négyzetre emelve

\begin{matrix} a^{2} + 2 a b + b^{2} = \frac{k^{2}}{4} . \end{matrix}

(3)

(2)-ből

a^{2} + b^{2}

értékét (3)-ba téve, ered:

\begin{matrix} \frac{a b}{μ} + 2 a b = \frac{k^{2}}{4}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} a b = \frac{μ k^{2}}{4 (1 + 2 μ)} . \end{matrix}

(4)

(1)-et és (4)-et tekintetbe véve,

a

és

b

gyökei a következő másodfokú egyenletnek:

\begin{matrix} z^{2} - \frac{k}{2} z + \frac{μ k^{2}}{4 (1 + 2 μ)} = 0. \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} a = \frac{k}{4} (1 \pm \sqrt[]{\frac{1 - 2 μ}{1 + 2 μ}}) \end{matrix}

\begin{matrix} b = \frac{k}{4} (1 \mp \sqrt[]{\frac{1 - 2 μ}{1 + 2 μ}}) . \end{matrix}

A megadott számértékeket helyettesítve

\begin{matrix} a_{1} = b_{2} = 3, a_{2} = b_{1} = 1. \end{matrix}

(Schönfeld Dezső, Győr.)

Megoldások száma: 52.