Kezdőlap


Feladat:	1412. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baján A. , Bauer E. , Domokos Gy. , Erdős V. , Gottléb J. , Helfgott Á. , Lendvai D. , Neumann L. , Neumann Zs. , Pálos T. , Schönfeld D. , Solymári mathematikai kör , Spitzer L. , Szántó L. , Szobotka Dezső , Szommer J. , Ungar E. , Vámos M.
Füzet:	1906/január, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térfogat, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/szeptember: 1412. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltételünk értelmében
$1^{\circ} .$

\begin{matrix} A D = R; \end{matrix}

\begin{matrix} V = A B \cdot A D \cdot A A' = R^{3} \sqrt[]{6} \end{matrix}

és

\begin{matrix} A C' = \sqrt[]{{\bar{A D}}^{2} + {\bar{A B}}^{2} + {\bar{A A'}}^{2}} = R \sqrt[]{6} . \end{matrix}

2^{\circ} .

Mivel

\begin{matrix} A C = \sqrt[]{{\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2}} = \sqrt[]{2 R^{2} + R^{2}} = R \sqrt[]{3} = A A', \end{matrix}

azért az

A A' C' C

oly négyzet, melynek minden oldala

R \sqrt[]{3}

és átlója

R \sqrt[]{6}

.
Jelöljük a négyzet átlóinak metszéspontját, mely egyszersmind a négyzet kerületének és területének súlypontja,

S

-sel, akkor

\begin{matrix} S A' = \frac{A' C}{2} = \frac{R \sqrt[]{6}}{2} . \end{matrix}

A forgásfelület, illetőleg köbtartalom a Guldin-féle szabály értelmében tehát

\begin{matrix} F = 2 π \cdot 4 R \sqrt[]{3} \cdot \frac{R \sqrt[]{6}}{2} = 12 π R^{2} \sqrt[]{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} V = 2 π \cdot (A A' C' C) \cdot \frac{R \sqrt[]{6}}{2} = 2 π \cdot 3 R^{2} \cdot \frac{R \sqrt[]{6}}{2} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} V = 3 π \cdot R^{3} \sqrt[]{6} . \end{matrix}

3^{\circ} .

\begin{matrix} V = R^{3} \sqrt[]{6} = 0,034786, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} R = \sqrt[3]{\frac{0,034786}{\sqrt[]{6}}} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} R = 0,24317 m . \end{matrix}

(Szobotha Dezső, Esztergom.)