Kezdőlap


Feladat:	1409. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baján A. , Basch R. , Bauer E. , Crisian A. , Domokos Gy. , Erdős V. , Gotléb I. , Jánosy József , Klein A. , Lendvai D. , Neumann L. , Pálos T. , Pető I. , Petrics D. , Rosenberg E. , Róth Zs. , Schönfeld D. , Silbermann J. , Solymári mathematikai kör , Szobotka D. , Ungar E. , Vámos J. , Vámos M. , Virány E.
Füzet:	1905/december, 123 - 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/szeptember: 1409. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A B C$ háromszög $a, b$ és $c$ oldalain a beírható kör érintési pontjai $E, D$ és $F$ . Jelöljük továbbá a beírható kör sugarát $r$ -rel, a $D E F$ háromszög oldalait $a_{1}, b_{1}$ és $c_{1}$ -gyel. Ekkor, mint ismeretes,

\begin{matrix} r = \frac{a_{1} b_{1} c_{1}}{4 \sqrt[]{s (s - a_{1}) (s - b_{1}) (s - c_{1})}} = \frac{145}{8} . \end{matrix}

Továbbá a

D O F

háromszögből

\begin{matrix} sin \frac{180^{\circ} - a}{2} = cos \frac{α}{2} = \frac{a_{1}}{2 r} = \frac{100}{145}, \end{matrix}

hasonlóképpen

\begin{matrix} cos \frac{β}{2} = \frac{b_{1}}{2 r} = \frac{116}{145} \end{matrix}

és

\begin{matrix} cos \frac{γ}{2} = \frac{c_{1}}{2 r} = \frac{144}{145} . \end{matrix}

A számításokat elvégezve,

\begin{matrix} α = 92^{\circ} 47' 40'', β = 73^{\circ} 44' 23 " ", γ = 13^{\circ} 27' 57'' . \end{matrix}

(Solymári mathematikai kör.)

Az oldalakat így számítjuk ki :

\begin{matrix} a = r (ctg \frac{β}{2} + ctg \frac{γ}{2}) = r \frac{cos \frac{α}{2}}{sin \frac{β}{2} sin \frac{γ}{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} b = r \frac{cos \frac{β}{2}}{sin \frac{α}{2} sin \frac{γ}{2}}, c = r \frac{cos \frac{γ}{2}}{sin \frac{α}{2} sin \frac{β}{2}} . \end{matrix}

A számításokat elvégezve,

\begin{matrix} a = 177,7 cm, b = 170,8 cm, c = 41,4 cm . \end{matrix}

(Jánosy József, Esztergom.)