Kezdőlap


Feladat:	1407. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Altstock H. , Baján A. , Bartoniek E. , Basch R. , Bauer E. , Domokos Gy. , Ehrenstein Stella , Előd L. , Erdős V. , Fried E. , Gottléb I. , Götz I. , Harsányi S. , Helfgott Á. , Jánosy J. , Klein G. , Kopeczky J. , Lendvai D. , Neumann L. , Pálos T. , Paunz R. , Rosemberg Ernő , Róth Zs. , Schönfeld D. , Solymári mathematikai kör , Spitzer L. , Stolzer I. , Szántó L. , Szobotka D. , Tolnai J. , Ungar E. , Vámos M. , Virány E.
Füzet:	1905/december, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Négyszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/szeptember: 1407. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy

\begin{matrix} F F_{1} = H H_{1}, F F_{1} A ∢ = H H_{1} C ∢ = 90^{\circ}, F A F_{1} ∢ = H C H_{1} ∢, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} F F_{1} A Δ ≅ H H_{1} C Δ \end{matrix}

s így

\begin{matrix} A F = H C; \end{matrix}

ugyanígy mutatjuk meg, hogy

\begin{matrix} A E = C G . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} F A E Δ ≅ C G H Δ, \end{matrix}

miből következik, hogy

F E

egyenlő és párhuzamos

G H

-val s így az

E F G H

négyszög egyenközény.

Közvetlenül belátható, hogy

\begin{matrix} A_{1} C_{1} = E H \end{matrix}

(1)

Minthogy pedig

\begin{matrix} B O C Δ \sim G C_{1} C Δ \end{matrix}

és

B O = O C

, azért

\begin{matrix} G C_{1} = C C_{1}, \end{matrix}

ugyanígy

\begin{matrix} C C_{1} = C_{1} H, \end{matrix}

\begin{matrix} C_{1} H = A_{1} E = A_{1} F = A_{1} A, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} C C_{1} + A A_{1} = G H \end{matrix}

(2)

Épp így mutathatjuk meg, hogy

\begin{matrix} B B_{1} + D D_{1} = F G . \end{matrix}

(3)

(1)-ből, (2)-ből és (3)-ból következik, hogy

\begin{matrix} E F + G H + F G + E H = A C + B D . \end{matrix}

(Rosenberg Ernő, Budapest.)