Kezdőlap


Feladat:	1397. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Velics Lajos
Füzet:	1907/április, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Térelemek és részeik, Térgeometriai bizonyítások, Gömb és részei, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/április: 1397. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ} .$ Az $α, β, γ, ...$ gömbök $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ középpontjai a $k$ síkjára merőleges $o$ egyenesen vannak. Jelöljük az $O_{i}$ pontoknak a $g$ , illetőleg $g_{1}$ egyenesekre eső vetületeit rendre $Q_{i}$ illetőleg $R_{i}$ -gyel; az $o$ és $g$ , illetőleg az $o$ és $g_{1}$ egyenesek bezárta szögeket pedig $(o g)$ illetőleg $(o g_{1})$ -gyel.
Minthogy

\begin{matrix} P A = 2 P Q_{1}, P B = 2 P Q_{2}, P C = 2 P Q_{3}, ... \end{matrix}

azért

\begin{matrix} A B = P B - P A = 2 (P Q_{2} - P Q_{1}) = 2 Q_{1} Q_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} B C = 2 Q_{2} Q_{3} \end{matrix}

\begin{matrix} ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... \end{matrix}

De másrészt

\begin{matrix} Q_{i} Q_{k} = O_{i} O_{k} cos (o g), \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A B = 2 \cdot O_{1} O_{k} cos (o g), \end{matrix}

\begin{matrix} B C = 2 \cdot O_{2} O_{3} cos (o g) \end{matrix}

(1)

Hasonlóképpen

\begin{matrix} A_{1} B_{1} = 2 \cdot O_{1} O_{2} cos (o g_{1}), \end{matrix}

\begin{matrix} B_{1} C_{1} = 2 \cdot O_{2} O_{3} cos (o g_{1}) \end{matrix}

(2)

tehát az

(1)

-ből és

(2)

-ből

\begin{matrix} \frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}} = ... = \frac{cos (o g)}{cos (o g_{1})} = állandó = λ . \end{matrix}

2^{\circ} .

Ha a

g

és

g_{1}

egyenesek a

k

síkkal egyenlő szögeket zárnak be, akkor egyúttal

\begin{matrix} (o g) ∢ = (o g_{1}) ∢, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{cos (o g)}{cos (o g_{1})} = λ = 1, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} A B = A_{1} B_{1}; \end{matrix}

(Velics Lajos, Kassa.)