Kezdőlap


Feladat:	1390. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ehrenfeld N. , Silbermann J. , Szobotka D. , Velics L.
Füzet:	1905/december, 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Műveletek polinomokkal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/április: 1390. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott kifejezés $(K)$ így is írható:

\begin{matrix} K = {[1 + (x^{2} - 1)]}^{2 n + 1} - (2 n + 1) (x^{2} - 1) {[1 + (x^{2} - 1)]}^{n} - 1 = \end{matrix}

\begin{matrix} = {(1 + y)}^{2 n + 1} - (2 n + 1) y {(1 + y)}^{n} - 1 \end{matrix}

(1)

ha az

\begin{matrix} x^{2} - 1 = y \end{matrix}

helyettesítést alkalmazzuk. Már most

\begin{matrix} {(1 + y)}^{n} = 1 + n y + (\binom{n}{2}) y^{2} + \dots + (\binom{n}{n}) y^{n} = 1 + n y + y^{2} \cdot A, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} - (2 n + 1) y {(1 + y)}^{n} = - (2 n + 1) y - (2 n + 1) n y^{2} + y^{3} \cdot B \end{matrix}

(2)

azonkívül

\begin{matrix} {(1 + y)}^{2 n + 1} = 1 + (2 n + 1) y + (2 n + 1) n y^{2} + y^{3} \cdot C \end{matrix}

(3)

és

\begin{matrix} - 1 = - 1. \end{matrix}

(4)

Ha a

(2), (3), (4)

egyenlőségeket összeadjuk éppen

K

-t kapjuk:

\begin{matrix} K = y^{3} (B + C) = y^{3} \cdot D, \end{matrix}

(5)

mely alakban világosan látható, hogy

K

osztható

y^{3} = {(x^{2} - 1)}^{3}

-mal.