Kezdőlap


Feladat:	1389. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Ehrenfeld N. , Erdős V. , Silbermann J. , Szántó László , Szende Gy. , Szobotka D. , Velics L.
Füzet:	1905/december, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Műveletek polinomokkal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/április: 1389. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adott kifejezésünket írjuk fel a következő háromféle alakban

\begin{matrix} 1^{\circ} . {(x + 1)}^{2 n} - x^{2 n} - 2 x - 1 = [{(x + 1)}^{2 n} - 1^{2 n} x (x^{2 n - 1} + 2) .] \end{matrix}

\begin{matrix} 2^{\circ} . {(x + 1)}^{2 n} - x^{2 n} - 2 x - 1 = {(x + 1)}^{2 n} - x (x^{2 n} - 1^{2 n}) - 2 (x + 1) = \end{matrix}

\begin{matrix} (x + 1) [{(x + 1)}^{2 n - 1} - 2] - (x^{2 n} - 1^{2 n}) . \end{matrix}

\begin{matrix} 3^{\circ} . {(x + 1)}^{2 n} - x^{2 n} - 2 x - 1 = [{(x + 1)}^{2 n} - x^{2 n}] - (2 x + 1) . \end{matrix}

1^{\circ} .

alak mindkét része osztható az alapok különbségével

(x + 1) - 1 = x

-szel.
A

2^{\circ} .

alak első része osztható

(x + 1)

-gyel, második része ugyancsak osztható az alapok összegével:

(x + 1)

-gyel.
A

3^{\circ} .

alak első része osztható az alapok összegével

(x + 1) + x = 2 x + 1

-gyel és a második rész is osztható ezzel.
Az egészet összefoglalva, adott kifejezésünk osztható az

x, x + 1, 2 x + 1

egymás közt relatív prím osztókkal, tehát osztható ezek szorzatával, vagyis:

x (x + 1) (2 x + 1)

kifejezéssel is.

(Szántó László, Pécs.)