Kezdőlap


Feladat:	1386. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Ehrenfeld N. , Erdős V. , Fried E. , Sárközy Pál , Szende Gy. , Szobotka D. , Vámos J. , Velics L.
Füzet:	1905/november, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/április: 1386. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen

\begin{matrix} A P = x, B P = c - x, \end{matrix}

a merőlegesek

\begin{matrix} x sin α és (c - x) sin β = \frac{(c - x) b}{a} sin α, \end{matrix}

a merőlegesek négyzeteinek összege:

\begin{matrix} y = x^{2} sin^{2} α + {(c - x)}^{2} \frac{b^{2}}{a^{2}} sin^{2} α, \end{matrix}

\begin{matrix} y = (1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}) sin^{2} α \cdot x^{2} - \frac{2 b^{2} c}{a^{2}} sin^{2} α \cdot x + \frac{b^{2} c^{2}}{a^{2}} sin^{2} α . \end{matrix}

y

minimum, ha

\begin{matrix} x = \frac{b^{2} c}{a^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

s ekkor

\begin{matrix} c - x = \frac{a^{2} c}{a^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

(Sárközy Pál, Pannonhalma.)