Kezdőlap


Feladat:	1376. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer E. , Bauer J. , Bayer N. , Ehrenfeld N. , Erdélyi S. , Erdős V. , Fried E. , Kirchknopf E. , Klein Adolf , Klein Arthur , Klein G. , Kubinyi I. , Lendvai D. , Lengyel M. , Pálos Tibor , Pauli J. , Paunz A. , Sárközy P. , Schulhof E. , Silbermann J. , Spitzer L. , Szántó L. , Szende Gy. , Szobotha Dezső , Szőllős Hermann , Vámos J. , Velics L.
Füzet:	1905/november, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körök, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/március: 1376. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Ha $C O$ -nak meghosszabbítása a kört $E$ -ben metszi és $C D = x$ , akkor ismert tétel alapján:

\begin{matrix} C A \cdot C B = C E \cdot C D \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 2 r \sqrt[]{2} \cdot r \sqrt[]{2} = (x + 2 r) \cdot x, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} 4 r^{2} = x^{2} + 2 r x \end{matrix}

és

\begin{matrix} x = - r \pm r \sqrt[]{5} . \end{matrix}

Ha a gyökmennyiségnek pozitív értékét vesszük, akkor csakugyan

\begin{matrix} x = r (\sqrt[]{5} - 1) . \end{matrix}

(Szobotha Dezső, Esztergom.)

Második megoldás. Bocsássunk a kör

O

középpontjából az

A B

húrra merőlegest és jelöljük e merőleges talppontját

F

-fel. Akkor

\begin{matrix} {\bar{O C}}^{2} = {\bar{O F}}^{2} + {\bar{F C}}^{2}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {(r + x)}^{2} = {(\frac{r \sqrt[]{2}}{2})}^{2} + {(\frac{3 r \sqrt[]{2}}{2})}^{2}, \end{matrix}

miből ismét

\begin{matrix} x = r (\sqrt[]{5} - 1) . \end{matrix}

(Szőllős Hermann, Esztergom.)

Harmadik megoldás.

\begin{matrix} {\bar{O C}}^{2} = {\bar{O B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} + 2 O B \cdot B C \cdot cos 135^{\circ}, \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{O C}}^{2} = r^{2} + 2 r^{2} + 2 r \cdot r \sqrt[]{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt[]{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{O C}}^{2} = r^{2} + 2 r^{2} + 2 r^{2} = 5 r^{2} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} O C = r \sqrt[]{5} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} C D = O C - r = r (\sqrt[]{5} - 1) . \end{matrix}

(Pálos Tibor, Budapest.)