Kezdőlap


Feladat:	1374. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer E. , Bayer N. , Ehrenfeld N. , Erdélyi S. , Erdős V. , Fried E. , Helfgott Á. , Kirchknopf E. , Klein A. , Klein G. , Kopeczki J. , Kubinyi I. , Lendvai D. , Lengyel M. , Neumann Zs. , Pálos T. , Paunz A. , Sárközy P. , Schulhof E. , Silbermann J. , Spitzer L. , Szende Gy. , Szobotka D. , Szőllős Hermann , Ungar E. , Velics L.
Füzet:	1905/szeptember, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/március: 1374. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltétel szerint

\begin{matrix} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} a = b k, c = d k, a' = b' k', c' = d' k' . \end{matrix}

(1)

Ha az

a + a', b + b', c + c'

és

d + d'

számok mértani aránypárt alkotnak, akkor

\begin{matrix} (a + a') (d + d') = (b + b') (c + c'), \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a d + a d' + a' d + a' d' = b c + b c' + b' c + b' c' . \end{matrix}

a, a', c, c'

értékeit

(1)

-ből helyettesítjük, ered:

\begin{matrix} b d k + b d' k + b' d k' + b' d' k' = b d k + b d' k' + b' d k + b' d' k' \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} k (b d' - b' d) 7 = k' (b d' - b' d) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} (b d' - b' d) (k - k') = 0. \end{matrix}

A bal oldal akkor

0

, ha

\begin{matrix} b d' - b' d = 0, vagy k - k' = 0, \end{matrix}

miből a keresett feltétel:

\begin{matrix} \frac{b}{b'} = \frac{d}{d'}, \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}, \frac{c}{c'} = \frac{d}{d'}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = \frac{d}{d'} . \end{matrix}

(Szőllős Hermann, Esztergom.)