Kezdőlap


Feladat:	1371. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Ehrenfeld Nándor , Erdélyi S. , Kirchknopf E. , Silbermann J. , Velics L.
Füzet:	1905/június, 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/március: 1371. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott egyenlőtlenség így is írható:

\begin{matrix} \frac{a x^{2} + a x + a + x^{2}}{x^{2} + x + 1} > b, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1} + \frac{x^{2}}{x^{2} + x + 1} > b . \end{matrix}

(1)

De az

x^{2} + x + 1

kifejezés

x

-nek minden értékénél pozitív, mert minimuma

\frac{3}{4}

, s így az

\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}

tört értéke

1

; ennélfogva

(1)

még így is írható

\begin{matrix} a + \frac{x^{2}}{x^{2} + x + 1} > b . \end{matrix}

Minthogy pedig

\frac{x^{2}}{x^{2} + x + 1}

mindig pozitív szám, azért adott

a

mellett, a megadott egyenlőtlenség mindig ki van elégítve, ha

\begin{matrix} b < a . \end{matrix}

(Ehrenfeld Nándor, Nyitra.)