Kezdőlap


Feladat:	1367. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Ehrenfeld N. , Lengyel M. , Paunz Arthur
Füzet:	1905/november, 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/február: 1367. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük megoldottnak a feladatot s legyen $A B C (C ∢ = 90^{\circ})$ a keresett háromszög. Hosszabbítsuk meg az $A B$ átfogót mindkét irányban, úgy hogy $E A = A C$ és $B F = B C$ legyen. Ekkor $E F$ a keresett háromszög kerülete. Legyen továbbá $C D$ a derékszög szögfelezője. Ekkor

\begin{matrix} E C F ∢ = 90^{\circ} + \frac{α}{2} + \frac{β}{2} + 90^{\circ} + 45^{\circ} + = 135 \circ . \end{matrix}

Ha az

E F C

háromszög köré írható kör középpontja

O

, akkor

\begin{matrix} C F O ∢ = \frac{180^{\circ} - F O C ∢}{2} = \frac{180^{\circ} - 2 \cdot F E C ∢}{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{180^{\circ} - α}{2} = \frac{90^{\circ} + β}{2} = 45^{\circ} + \frac{β}{2} = D C F ∢ . \end{matrix}

Látjuk tehát, hogy

C D

szögfelező keresztül megy az

O

ponton. A szerkesztés ennélfogva így történik:

F

-ben

E F

mellé

45^{\circ}

-ú szöget rajzolunk, melynek másik szára az

E F

középpontjában emelt merőlegest

O

-ban metszi. Ezután

O F - C D

sugárral kört rajzolunk, mely

E F

-et

D

-ben metszi.

O D

az első kört

C

-ben metszi.

C E

mellé az

F E C

szöget,

C F

mellé pedig az

E F C

szöget lemásolva kapjuk a

C A

és

C B

befogókat.

(Paunz Arthur, Pécs.)