Kezdőlap


Feladat:	1366. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Ehrenfeld N. , Erdélyi S. , Erdős V. , Lendvai Dezső , Sárközy P. , Szende Gy. , Szobotka D. , Velics L.
Füzet:	1905/november, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Trigonometriai azonosságok, Háromszögek nevezetes tételei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/február: 1366. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy feladatunkban csakis az oldalak vetületeinek négyzetei szerepelnek, szükségtelen a tengely pozitív irányát külön megállapítanunk, miért is, ha a tengely a háromszög egyik oldalával $α$ szöget zár be, az oldalak vetületeinek négyzetei lesznek:

\begin{matrix} a^{2} cos^{2} α, a^{2} cos^{2} (60^{\circ} - α), a^{2} cos^{2} (60^{\circ} + α) . \end{matrix}

A vetületek négyzeteinek összege tehát

\begin{matrix} a^{2} (cos^{2} α + cos^{2} (60^{\circ} - α) + cos^{2} (60^{\circ} + α)) = \end{matrix}

\begin{matrix} = a^{2} (cos^{2} α + 2 cos^{2} 60^{\circ} cos^{2} α) + 2 sin^{2} 60^{\circ} sin^{2} α) = \end{matrix}

\begin{matrix} = a^{2} (cos^{2} α + \frac{1}{2} cos^{2} α + \frac{3}{2} sin^{2} α) = \end{matrix}

\begin{matrix} = a^{2} (\frac{3}{2} cos^{2} α + \frac{3}{2} sin^{2} α) = \frac{3}{2} a^{2} = constans . \end{matrix}

(Lendvai Dezső, Budapest.)