Kezdőlap


Feladat:	1365. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer E. , Bauer J. , Bayer N. , Borota Braniszláv , Czúcz A. , Ehrenfeld N. , Erdélyi S. , Erdős V. , Fried E. , Jánosy J. , Kirchknopf E. , Klein A. , Koffler B. , Kubinyi I. , Lengyel M. , Nendtvith Zs. , Neumann F. , Pálos T. , Pauli J. , Paunz A. , Sárközy P. , Silbermann J. , Singer E. , Szántó L. , Szende György , Szenes A. , Szobotka D. , Ungar E. , Velics L. , Weisz J.
Füzet:	1905/november, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/február: 1365. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás.

\begin{matrix} tg (\frac{π}{4} - \frac{x}{2}) = \frac{sin (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})}{cos (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})} = \frac{sin \frac{π}{4} cos \frac{x}{2} - cos \frac{π}{4} sin \frac{x}{2}}{cos \frac{π}{4} sin \frac{π}{4} sin \frac{x}{2} + sin \frac{π}{4} sin \frac{x}{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} sin \frac{π}{4} = cos \frac{π}{4} \end{matrix}

s így törtünk így is írható:

\begin{matrix} \frac{cos \frac{x}{2} - sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2} + sin \frac{x}{2}} = \frac{(cos \frac{x}{2} - sin \frac{x}{2}) (cos \frac{x}{2} + sin \frac{x}{2})}{{(cos \frac{x}{2} + sin \frac{x}{2})}^{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{cos^{2} \frac{x}{2} - sin^{2} \frac{x}{2}}{1 + 2 cos \frac{x}{2} sin \frac{x}{2}} = \frac{cos x}{1 + sin x} . \end{matrix}

(Borota Braniszláv, Szeged.)

Második megoldás. Ismeretes, hogy

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{1 - cos α}{1 + cos α}} . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} tg (\frac{π}{4} - \frac{x}{2}) = tg \frac{1}{2} (\frac{π}{2} - x) = \sqrt[]{\frac{1 - cos (\frac{π}{2} - x)}{1 + cos (\frac{π}{2} - x)}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \sqrt[]{\frac{1 - sin x}{1 + sin x}} = \sqrt[]{\frac{(1 - sin x) (1 + sin x)}{{(1 + sin x)}^{2}}} = \frac{cos x}{1 + sin x} . \end{matrix}

(Szende György, Budapest.)