Kezdőlap


Feladat:	1364. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer E. , Bayer N. , Ehrenfeld N. , Erdős V. , Fried E. , Helfgott Á. , Jánossy J. , Koffler B. , Kubinyi I. , Lendvai D. , Lengyel M. , Nendtvich Zs. , Paunz A. , Silbermann J. , Szántó L. , Szende Gy. , Szobotka Dezső , Velics L.
Füzet:	1905/április, 197. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/február: 1364. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első négy egyenlőségből

\begin{matrix} a = \frac{A + B + C + D}{4}, b = \frac{A + B - C - D}{4}, \end{matrix}

\begin{matrix} c = \frac{A - B + C - D}{4}, d = \frac{A - B - C + D}{4}, \end{matrix}

másrészt, az

\begin{matrix} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 0 \end{matrix}

egyenlőség így is írható:

\begin{matrix} b c d + a c d + a b d + a b c = 0, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} c d (a + b) + a b (c + d) = 0. \end{matrix}

Ha eme egyenlőségbe az

a, b, c

és

d

értékeit helyettesítjük, ered:

\begin{matrix} \frac{{(A - B)}^{2} - {(C - D)}^{2}}{16} \cdot \frac{A + B}{2} + \frac{{(A + B)}^{2} - {(C + D)}^{2}}{16} \cdot \frac{A - B}{2} = 0. \end{matrix}

A kijelölt miveleteket végrehajtva, ered:

\begin{matrix} (A^{2} - 2 A B + B^{2} - C^{2} + 2 C D - D^{2}) (A + B) + \end{matrix}

\begin{matrix} + (A^{2} + 2 A B + B^{2} - C^{2} - 2 C D - D^{2}) (A - B) = \end{matrix}

\begin{matrix} = A (2 A^{2} + 2 B^{2} - 2 C^{2} - 2 D^{2}) + B (- 4 A B + 4 C D) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 A^{3} + 2 A B^{2} - 2 A C^{2} - 2 A D^{2} - 4 A B^{2} + 4 B C D) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 A^{3} + 2 A B^{2} - 2 A C^{2} - 2 A D^{2} + 4 B C D = 0 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} A^{3} = A (B^{2} + C^{2} + D^{2}) - 2 B C D . \end{matrix}

(Szobotha Dezső, Esztergom.)