Kezdőlap


Feladat:	1360. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Ehrenfeld N. , Erdélyi S. , Fried E. , Helfgott Á. , Jánosy J. , Kirchknopf E. , Klein G. , Koffler B. , Lendvai D. , Pálos T. , Paunz Arthur , Sárközy P. , Singer E. , Szántó L. , Szende Gy. , Szobotka D. , Ungar E. , Velics L.
Füzet:	1905/április, 195 - 196. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konvergens sorok, Térfogat, Szabályos testek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/február: 1360. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az oktaéder egyik élének középpontját $M$ -mel s kössük össze ezt a pontot az élt alkotó lapok szemközt fekvő csúcsaival $A$ -val és $B$ -vel. $A M$ és $B M$ az oktaéder két lapjának magasságai, melyeken $C$ és $D$ a magasságpontok, ha $C M = \frac{1}{2} A C$ és $D M = \frac{1}{2} B D$ . Így tehát $C D$ a második kockának egyik éle. Minthogy pedig $A M B Δ \sim C M D Δ$ , azért

\begin{matrix} C D : A B = M D : M B = 1 : 3, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} C D = \frac{A B}{3} . \end{matrix}

A B

a kocka szemközt fekvő lapjainak középpontjait köti össze s így egyenlő a kocka egyik élének

a

hosszával. Ennélfogva

\begin{matrix} C D = a_{1} = \frac{a}{3}, \end{matrix}

épp így

\begin{matrix} a_{2} = \frac{a_{1}}{3} = \frac{a}{9}, \end{matrix}

\begin{matrix} a_{3} = \frac{a}{27} s.í.t. \end{matrix}

A kockák köbtartalmainak összege tehát

\begin{matrix} S = a^{3} + \frac{a^{3}}{3^{3}} + \frac{a^{3}}{3^{6}} + ... = \frac{a^{3}}{1 - \frac{1}{3^{3}}} = \frac{27}{26} a^{3} . \end{matrix}

(Paunz Arthur, Budapest.)