Kezdőlap


Feladat:	1354. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer E. , Bayer N. , Czúcz A. , Dénes Miklós , Domokos Gy. , Ehrenfeld N. , Erdélyi S. , Erdős V. , Ertler Á. , Fried E. , Gádor Z. , Jánosy J. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Koffler B. , Kubinyi I. , Lendvai D. , Lengyel M. , Nendtvich Zs. , Neumann F. , Pauli J. , Paunz A. , Sárközy P. , Schulhof E. , Szende Gy. , Szobotka D. , Velics L.
Füzet:	1905/november, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Beírt alakzatok, Sorozat határértéke, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/január: 1354. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az egymásután következő négyzetek oldalai: $x_{1}, x_{2}, x_{3}, ...$ . Ekkor a keletkező hasonló háromszögekből:

\begin{matrix} x_{1} : a = (m - x_{1}) : m, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x_{1} = \frac{a m}{m + a} . \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} : a = (m - x_{1} - x_{2}) : m_{1}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x_{2} : a = (m - \frac{a m}{m + a} - x_{2}) : m \end{matrix}

\begin{matrix} m x_{2} = a (\frac{m^{2} + a m - a m}{m + a} - x_{2}) \end{matrix}

s így

\begin{matrix} x_{2} (m + a) = \frac{a m^{2}}{m + a} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x_{2} = \frac{a m^{2}}{{(m + a)}^{2}} . \end{matrix}

Ezt az eljárást folytatva, látjuk, hogy az egymásután következő négyzetek területei:

\begin{matrix} x_{1}^{2} = \frac{a^{2} m^{2}}{{(m + a)}^{2}}, x_{2}^{2} = \frac{a^{2} m^{4}}{{(m + a)}^{4}}, stb . \end{matrix}

E négyzetek területei olyan végtelen mértani haladványt alkotnak, melynek első tagja:

\begin{matrix} \frac{a^{2} m^{2}}{{(m + a)}^{2}} . \end{matrix}

hányadosa:

\begin{matrix} \frac{m^{2}}{{(m + a)}^{2}} . \end{matrix}

Minthogy a hányados

1

-nél kisebb, azért a területek összege:

\begin{matrix} S = \frac{a^{2} m^{2}}{{(m + a)}^{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{m^{2}}{{(m + a)}^{2}}} = \frac{a^{2} m^{2}}{a^{2} + 2 a m + m^{2} - m^{2}} = \frac{a m^{2}}{a + 2 m} . \end{matrix}

(Dénes Miklós, Budapest.)