Kezdőlap


Feladat:	1350. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer E. , Bayer N. , Domokos Gy. , Ehrenfeld Nándor , Fried E. , Gádor Z. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Kubinyi I. , Lendvai D. , Nendtvith Zs. , Paunz A. , Sárközy P. , Schulhof E. , Szende Gy. , Velics L.
Füzet:	1905/október, 40 - 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Osztók összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1905/január: 1350. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $n$ szám osztói a legkedvezőbb esetben

\begin{matrix} n, \frac{n}{2}, \frac{n}{3}, \dots, \frac{n}{n - 1}, 1, \end{matrix}

amikor is

\begin{matrix} \sum_{k}^{} d_{k} = n + \frac{n}{2} + \frac{n}{3} + \dots + \frac{n}{n - 1} + \frac{n}{n} = \end{matrix}

\begin{matrix} = n (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}) . \end{matrix}

Ámde

\begin{matrix} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots \frac{1}{n} < n, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \sum_{k}^{} d_{k} < n^{2} . \end{matrix}

(Ehrenfeld Nándor, Nyitra.)