Kezdőlap


Feladat:	1341. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bayer Nándor , Erdős V. , Gádor Zoltán , Horváth L. , Kirchknopf E. , Mikola Sándor , Pichler Sándor , Sárközy Pál
Füzet:	1905/szeptember, 16 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Feladat, Egyéb erőrendszer eredője, Egyéb merev testek mechanikája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/december: 1341. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A beérkezett sok igen ügyes megoldásból saját megjegyzéseinkkel kapcsolatban adjuk a következőket.
$1$ . Az, hogy előre megy-e a hajó vagy hátra, csakis a vitorla irányától függ, nevezetesen attól, hogy a szél nyomása a vitorla hátulsó vagy elülső felületére működik-e. A mellékelt négy ábra mindent megmagyaráz.

A B

mindenütt a hajó haladási irányát jelzi. Az

1

. ábra azt mutatja, hogyan kell a vitorlát állítani, mikor a szél szembe fújva tompaszöget alkot a hajó haladási irányával.

S O

vektor jelentheti a szél sebességét, de jelentheti az abból származó nyomóerőt is. Ezt a vektort helyettesíthetjük:

\bar{S P}, \bar{P R}

és

\bar{R O}

vektorokkal (kétszer alkalmazva a parallelogramma szerint való szétbontást). Ezek közül

\bar{S P}

vektor párhuzamos a vitorlával; reá hatást nem gyakorolhat, mert nem talál felületet, melybe belekapaszkodjék.
Ennek a vektornak legföljebb a hajó testére lehet hatása, mert ott talál szembeálló felületet. Minthogy azonban a hajónak eme vektor irányára merőleges felülete a vitorla felületéhez képest csekély, azért ezt a hatást egyelőre elhanyagolhatjuk. A

\bar{P R}

vektor a hajó haladási irányára merőleges. Igen nagy felületet talál úgy a vitorlán mint a hajó testén, tehát nagy erővel tolná a hajót oldalvást, vagyis a haladási irányra merőlegesen. Ennek a vektornak a hajó nem engedelmeskedhetik, mert a víz ellenállása a hosszoldal mentén igen nagy. A víz ellenállása arányos azzal a felülettel, mely a vizet helyéből kiszorítani igyekszik. Hogy ezt az oldalmozgást a

0

-hoz közel eső értékre csökkentsék, a vitorlás hajót úgy építik, hogy az a felület lehetőleg nagy legyen.
A vitorlás hajó tehát hosszú s azonkívül alul hegyes, keskeny gerincével mélyen a víz felszíne alá ér.
Ez a

\bar{P R}

vektor tehát oldalmozgást alig hoz létre; egyetlen hatása az, hogy a hajót oldalra, ferdére fordítja. Sőt erős szél esetében fel is fordítaná. Ezt elkerülendő a hajó fenekét erősen megterhelik s az alsó keskeny gerinc is nagy fajsúlyú anyagból készül. Marad mint egyetlen mozgató componens az

\bar{R O}

, mely a hajó tengelyének irányába esik. Ez a componens a vitorlában talál elég kapaszkodó felületet; a mozgás ennek irányában tényleg létre fog jönni, mert a hegyes keskeny orral szemben a víz sem nyújt elegendő ellenállást.
A

2

. és

3

. rajz azt mutatja hogyan nem szabad a vitorlát állítani. Ez esetekben a hajó nem előre, hanem hátra menne, pedig a

3

. esetben olyan szél fúj, mely a hajó haladási irányához közel esik.
A

4

. rajz éppen azt mutatja, hogy ebben az esetben milyen a helyes vitorlaállítás.
Ha a hajón több vitorlatartó árbóc van, akkor ezeknek megfelelő állításával a hajót kormányozni is lehet. A kormánylapát azonban ebben az esetben is szükséges.

(Pichler Sándor, Budapest.)

2

. Ha

S O

a szél sebességét ábrázolja, akkor

\bar{R O}

a hajónak ezen vitorlaállás mellett elérhető maximális sebességét fogja jelenteni. Ezt a sebességet a mindig felmerülő súrlódás miatt a hajó ugyan soha sem fogja elérni, de nem fog tőle messze elmaradni.
Ezt a sebességet a

4

. ábra szerint kiszámíthatjuk

\begin{matrix} \bar{P O} = \bar{S O} sin β; \bar{R O} = \bar{P O} sin α, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \bar{R O} = S O \cdot sin α \cdot sin β \end{matrix}

\begin{matrix} v = c sin α \cdot sin β = 12 sin 50^{\circ} \cdot sin 45^{\circ} = 6, 5 \frac{m}{sec} . \end{matrix}

(Sárközy Pál, Pannonhalma.)

3

. Ha azt a vitorlaállást keresem, amely mellett a hajó sebessége maximális, akkor

\begin{matrix} v = c sin α \cdot sin β \end{matrix}

kifejezés maximumát kell keresni.

\begin{matrix} v = c sin α sin β = \frac{c}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)] . \end{matrix}

(α + β)

azt a szöget méri (lásd a

4

. ábrát), amelyet a szél iránya a hajó irányával bezár. Ez tehát

állandó

v

tehát akkor lesz maximum, ha

cos (α - β)

maximum.

cos (α - β)

maximum lesz, ha

α - β = 0

, vagyis

\begin{matrix} α = β, \end{matrix}

A hajó sebessége legnagyobb, ha a vitorla a szél és a hajó irányával ugyanakkora szöget zár be.

(Bayer Nándor, Losonc.)

4

. Minthogy a hajó délkeleti irányban evez és a szél északról délnek fúj, azért a szél a hajó irányával az egyik oldal felé

45^{\circ}

, a másik oldal

135^{\circ}

szöget alkot, jelölésünk értelmében

\begin{matrix} α + β = 135^{\circ}, \end{matrix}

\begin{matrix} α = β = \frac{135^{\circ}}{2} = 67^{\circ} 30', \end{matrix}

\begin{matrix} v = c sin^{2} α = 8 {(sin 67^{\circ} 30')}^{2} = 6, 8 \frac{m}{sec} . \end{matrix}

Az árbóc tetején lévő szélkakas a hajó és a szél sebességeiből mint componensekből alkotott parallelogramma átlójába eső irányt fogja jelezni.
Jelöljük az átló és a széliránya közti szöget

γ

-val, az átló és a hajó iránya közti szöget

δ

-val, akkor oly háromszögünk van, melynek oldalai

c

és

v

s a köztük fekvő szög

45^{\circ}

ismeretes. A tangens-tétel szerint

\begin{matrix} \frac{c + v}{c - v} = \frac{tg \frac{γ + δ}{2}}{tg \frac{γ - δ}{2}} . \end{matrix}

Ebből

γ = 24^{\circ} 25'

; vagyis a szélkakas az északdéli iránnyal ekkora szöget fog bezárni nyugat felé.

(Gádor Zoltán, Losonc.)

A megelőzők után azt lehetne gondolni, hogy a vitorlázás mindig lehetséges, hacsak épen szembejövő szél nem fúj. Ez elméletileg így is van, mert az

\bar{S O}

vektornak az ellenszélt kivéve mindig lesz egy componense,

\bar{R O}

a hajó haladási irányában. Nem kell azonban felejteni, hogy a vitorlával párhuzamos

\bar{S P}

vektor a hajó testében elég felületet talál hatásának kifejtésére; az általa létesített mozgás pedig éppen ellenkező irányú a hajóéval. Ha már

\bar{R O}

nagyon kicsinnyé válik, akkor ennek a vektornak hatása érezhető. Jól felszerelt hajóval még lehet vitorlázni, ha a szél és a hajó iránya közti szög

130^{\circ}

(a túlsó oldal felé

50^{\circ}

). Ezen túl azonban nem lehet menni. Ebben az esetben másképp segítenek magukon. Egyenes vonal helyett cikkcakk vonalban haladnak, úgy hogy a széliránya és a hajó tényleges haladási iránya közti szög kisebb

130

foknál. Ez az úgynevezett lavírozás.

M.S.