Kezdőlap


Feladat:	1338. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer Nándor , Ehrenfeld N. , Gádor Z. , Helfgott Á. , Jánosy J. , Kirchknopf E. , Kürth R. , Mellinger E. , Neumann E. , Neumann Frida , Neumann L. , Szobotka D. , Velics L.
Füzet:	1905/június, 213 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/december: 1338. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Ismeretes, hogy a háromszög területe

\begin{matrix} t = \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)} \end{matrix}

és

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{t}{tg \frac{α}{2}} = s (s - a), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} s^{2} - a s - \frac{t}{tg \frac{α}{2}} = 0, \end{matrix}

honnan

\begin{matrix} s = 75 m . \end{matrix}

Tudjuk, hogy

\begin{matrix} cos \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{s (s - a)}{b c}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} b c = \frac{s (s - a)}{cos^{2} \frac{α}{2}}, \end{matrix}

honnan

\begin{matrix} b c = 2378. \end{matrix}

^{\circ}

)

Ha azonban

\begin{matrix} 2 s = a + b + c . \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} b + c = 2 s - a = 99 \end{matrix}

^{\circ}

)

(1^{\circ})

-ből és

(2^{\circ})

-ből

\begin{matrix} b = 41 m, c = 58 m . \end{matrix}

Továbbá nyerjük, hogy

\begin{matrix} β = 43^{\circ} 36' 10'' \end{matrix}

és

\begin{matrix} γ = 77^{\circ} 19' 11'' . \end{matrix}

(Neumann Frida, Budapest.)

Második megoldás.

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α, \end{matrix}

de minthogy

\begin{matrix} 2 b c = \frac{4 t}{sin α}, \end{matrix}

(1)

azért

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} = a^{2} + 4 t \frac{cos α}{sin α} . \end{matrix}

(2)

(2)

-höz

(1)

-et adva, illetőleg levonva

\begin{matrix} {(b + c)}^{2} = a^{2} + \frac{4 t}{sin α} (1 + cos α) = a^{2} + 4 t \end{matrix}

\begin{matrix} {(b - c)}^{2} = a^{2} - \frac{4 t}{sin α} (1 - cos α) = a^{2} - 4 t \end{matrix}

mely egyenletekből ismét ered, hogy

\begin{matrix} b = 58 m és c = 41 m . \end{matrix}

(Bayer Nándor, Losonc.)