Kezdőlap


Feladat:	1336. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer Nándor , Czúcz A. , Dénes M. , Domokos Gy. , Ehrenfeld N. , Erdélyi S. , Erdős V. , Fried E. , Gádor Z. , Helfgott Á. , Jánosy J. , Kirchnopf Ervin , Kiss E. , Klein A. , Klein G. , Kubinyi I. , Kürth R. , Köhler I. , Lendvai D. , Lengyel M. , Mellinger E. , Nendtvith Zs. , Neumann F. , Neumann L. , Paunz A. , Pichler S. , Roth Zs. , Sárközy P. , Schulhof E. , Szende Gy. , Szilárd V. , Szóbel J. , Szobotka D. , Velics L.
Füzet:	1905/március, 175 - 176. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Négyzetek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/december: 1336. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Legyenek az $A B C$ derékszögű háromszög $A C$ és $B C$ befogói fölé szerkesztett négyzetek szélső pontjai $A_{1}$ , illetőleg $B_{1}$ , a körnek $A_{1} B_{2}$ -vel való metszéspontja $C_{1}$ . Ha $A_{1} A$ és $B_{1} B$ metszéspontja $D$ , akkor $C D$ , mint az $A D B C$ téglalap átlója, átmérője a körülírt körnek, miért is $C C_{1} D ∢ = 90^{\circ}$ , mint félkörön fekvő kerületi szög. De ekkor $D C_{1} ⊥ C C_{1}$ azaz $D C_{1} ⊥ A_{1} B_{1}$ magassága az $A_{1} D B_{1}$ egyenlőszárú háromszögnek s mint ilyen az alapot felezi, tehát $A_{1} C_{1} = B_{1} C_{1}$ .

(Bayer Nándor, Losonc.)

Második megoldás. Ismeretes, hogy ha egy tetszés szerinti pontból a kört metsző sugarakat rajzolunk, akkor az egyes sugarak szeleteinek szorzata állandó számérték. Ennélfogva

\begin{matrix} B_{1} C \cdot B_{1} C_{1} = B_{1} B \cdot B_{1} D . \end{matrix}

De ha

\begin{matrix} B_{1} B = a \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} B_{1} C = a \sqrt[]{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} B_{1} D = B_{1} B + B D = a + b \end{matrix}

s így

\begin{matrix} B_{1} C_{1} \cdot a \sqrt[]{2} = a (a + b), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} B_{1} C_{1} = \frac{a + b}{\sqrt[]{2}} = \frac{(a + b) \sqrt[]{2}}{2} = \frac{A_{1} B_{1}}{2} . \end{matrix}

(Kirchknopf Ervin, Budapest.)