Kezdőlap


Feladat:	1335. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer N. , Domokos Gy. , Ehrenfeld N. , Erdélyi S. , Erdős V. , Fried E. , Gádor Z. , Kirchknopf E. , Kiss E. , Klein G. , Koffler B. , Köhler István , Lendvai D. , Lengyel M. , Mellinger E. , Neumann L. , Paunz A. , Pichler S. , Sárközy Pál , Szobotka D.
Füzet:	1905/február, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/december: 1335. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Legyen $A B C D$ a négyszög, $P$ -nek az $A B, B C, C D$ és $D A$ oldalaktól mért távolságai $a, b, c$ és $d$ .
Minthogy:

\begin{matrix} a = B P \cdot sin A B P = B P \cdot sin A D P, \end{matrix}

\begin{matrix} c = D P \cdot sin C D P = D P \cdot sin C B P, \end{matrix}

\begin{matrix} b = B P \cdot sin C B P, \end{matrix}

\begin{matrix} d = A P \cdot sin D A P, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} a c = B P \cdot sin C B P \cdot D P \cdot sin A D P, \end{matrix}

\begin{matrix} b d = B P \cdot sin C B P \cdot A P \cdot sin D A P . \end{matrix}

De az

A D P

háromszögben

\begin{matrix} D P \cdot sin A D P = A P \cdot sin D A P \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a c = b d . \end{matrix}

(Sárközy Pál, Pannonhalma.)

Második megoldás. Legyen

A B C D

a négyszög, és a

P

pontból bocsájtott merőlegesek talppontjai:

T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}

A B, B C, C D

és

D A

oldalakon. Húzzuk meg a

P A

és

P C

egyeneseket. Ekkor

\begin{matrix} P C T_{2} Δ \sim P A T_{1} Δ, mert P C T_{2} ∢ = P A T_{1} ∢ \end{matrix}

és

\begin{matrix} P C T_{3} Δ \sim P A T_{4} Δ, mert P C T_{3} ∢ = P A T_{4} ∢; \end{matrix}

következésképp

\begin{matrix} P T_{2} : P T_{1} = P C : P A \end{matrix}

és

\begin{matrix} P T_{3} : P T_{4} = P C : P A, \end{matrix}

miért is

\begin{matrix} P T_{2} : P T_{1} = P T_{3} : P T_{4} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} P T_{2} \cdot P T_{4} = P T_{1} \cdot P T_{3} . \end{matrix}

(Köhler István, Budapest.)